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引言

路径总和系列是二叉树遍历中的经典问题，涵盖从基础递归到高级优化的多种解法。本文详细分析LeetCode中路径总和I、II、III的解题思路，并提供Java实现代码与优化技巧，帮助读者深入理解二叉树遍历与回溯算法的应用。

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一、路径总和 I（LeetCode 112）

问题描述

判断二叉树中是否存在从根节点到叶子节点的路径，使得路径节点值之和等于给定目标数。

方法思路

• 递归遍历：深度优先搜索（DFS）遍历每个节点。
• 终止条件：
  • 空节点直接返回false。
  • 叶子节点判断当前剩余值是否等于节点值。
• 递归逻辑：对左右子树递归检查剩余目标值。

Java代码实现

class Solution {public boolean hasPathSum(TreeNode root, int targetSum) {if (root == null) return false;if (root.left == null && root.right == null) {return targetSum == root.val;}return hasPathSum(root.left, targetSum - root.val) || hasPathSum(root.right, targetSum - root.val);}
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)，每个节点访问一次。
• 空间复杂度：O(n)，递归栈深度在最坏情况下（树退化为链表）为n。

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二、路径总和 II（LeetCode 113）

问题描述

找出所有从根节点到叶子节点路径和等于目标数的路径，返回路径列表。

方法思路

• 回溯法：通过动态维护路径列表记录当前路径。
• 关键步骤：
  1. 添加当前节点到路径。
  2. 到达叶子节点时检查路径和。
  3. 递归返回前移除当前节点（回溯）。

Java代码实现

class Solution {public List<List<Integer>> pathSum(TreeNode root, int targetSum) {List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();dfs(root, targetSum, new ArrayList<>(), result);return result;}private void dfs(TreeNode node, int remain, List<Integer> path, List<List<Integer>> result) {if (node == null) return;path.add(node.val);if (node.left == null && node.right == null && remain == node.val) {result.add(new ArrayList<>(path)); // 深拷贝路径} else {dfs(node.left, remain - node.val, path, result);dfs(node.right, remain - node.val, path, result);}path.remove(path.size() - 1); // 回溯}
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)，每个节点访问一次。
• 空间复杂度：O(n²)，存储所有路径的空间开销。

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三、路径总和 III（LeetCode 437）

问题描述

统计路径和等于目标数的路径数量。路径方向必须向下，但起点和终点不限制。

方法思路

• 前缀和+哈希表优化：
  • 记录路径前缀和及其出现次数。
  • 若当前前缀和为currentSum，查找currentSum - target是否存在。
• 回溯维护：递归后需清理当前前缀和，避免影响其他子树。

Java代码实现

class Solution {private int count = 0;private Map<Long, Integer> prefixMap = new HashMap<>();public int pathSum(TreeNode root, int targetSum) {prefixMap.put(0L, 1); // 初始化空路径dfs(root, 0L, targetSum);return count;}private void dfs(TreeNode node, long currentSum, int target) {if (node == null) return;currentSum += node.val;count += prefixMap.getOrDefault(currentSum - target, 0);prefixMap.put(currentSum, prefixMap.getOrDefault(currentSum, 0) + 1);dfs(node.left, currentSum, target);dfs(node.right, currentSum, target);prefixMap.put(currentSum, prefixMap.get(currentSum) - 1); // 回溯}
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)，每个节点访问一次。
• 空间复杂度：O(n)，哈希表存储前缀和。

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四、对比与总结

方法对比

问题	核心方法	时间复杂度	空间复杂度	关键难点
路径总和 I	递归遍历	O(n)	O(n)	终止条件判断
路径总和 II	回溯+路径记录	O(n)	O(n²)	深拷贝与回溯逻辑
路径总和 III	前缀和+哈希表	O(n)	O(n)	前缀和统计与回溯维护

总结

1. 路径总和I：基础递归应用，理解终止条件与递归分解。
2. 路径总和II：掌握回溯法维护路径状态，注意深拷贝避免引用问题。
3. 路径总和III：前缀和优化是核心，通过空间换时间避免重复计算。

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五、示例验证

路径总和II示例

输入：

       5/ \4   8/   / \11  13  4/  \    / \7    2  5   1

目标值：22
输出：[[5,4,11,2], [5,8,4,5]]

路径总和III示例

输入：

      10/  \5   -3/ \    \3   2   11/ \   \
3  -2   1

目标值：8
输出：3（路径为5→3, 5→2→1, -3→11）

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通过系统化分析与代码实现，读者可深入掌握二叉树路径问题的多种解法，提升算法设计与优化能力。