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从基础到实战的量化交易全流程学习：1.3 数学与统计学基础——概率与统计基础 | 基础概念

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第一部分：概率与统计基础
第1节：基础概念：随机变量、概率分布、大数定律与中心极限定理

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一、随机变量与概率分布：用数学描述市场不确定性

1. 随机变量：从“随机事件”到“数字语言”

定义与分类

• 随机变量（Random Variable）是一个将随机试验结果映射到实数的函数，记为 ( X )。
• 离散型随机变量：取值为有限个或可数无穷个
  • 例子：抛硬币结果（正面=1，反面=0）
• 连续型随机变量：取值充满某个区间
  • 例子：股票价格（如 ( X \in [0, +\infty) )）

量化交易中的例子

随机事件	随机变量定义	类型
某股票是否上涨	( X=1 )（上涨），( X=0 )（下跌）	离散型
标的资产月波动率	( X \in [0, 50%] )	连续型

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2. 概率分布：刻画随机变量的“可能性图谱”

离散型分布：概率质量函数（PMF）

• 定义：( P(X=x_i) ) 表示随机变量取特定值 ( x_i ) 的概率

• 性质：所有概率之和为1，即 ( \sum_{i} P(x_i) = 1 )

• 二项分布示例（策略在10次交易中盈利 ( k ) 次的概率）：

  $$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$$

  • 其中 $n=10$，$p=0.6$，期望值 $\mu =np=6$

连续型分布：概率密度函数（PDF）

• 定义：用 ( f(x) ) 描述随机变量在 ( x ) 附近的概率密度
• 性质：总面积为1，即 ( \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = 1 )
• 正态分布示例（股票对数收益率）：
  $$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$
  • 均值 $\mu$，标准差 $\sigma$

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二、大数定律：用“大量数据”看穿市场本质

1. 数学表达与直观理解

• 弱大数定律（辛钦大数定律）：
  $$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left(\left|\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i-\mu \right|<ϵ\right)=1$$
  • 样本均值收敛于总体均值 $\mu$
  • 核心结论：样本量越大，样本均值越接近总体均值
  • 量化应用：策略回测时，用历史交易的平均收益估计真实期望收益

2.大数定律的直观演示

假设某策略单次交易的收益期望为 ( \mu = 0.5% )，标准差 ( \sigma = 5% )。

• 当交易次数 ( n=10 ) 时，样本均值可能剧烈波动
• 当 ( n=1000 ) 时，样本均值稳定在 ( 0.5% ) 附近

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三、中心极限定理（CLT）：让“非正态数据”变得“正态可控”

1. 数学表达与核心思想

• 定理内容：
  设 ( X_1, X_2, \dots, X_n ) 是独立同分布随机变量，期望 ( \mu )，方差 ( \sigma^2 )，则当 ( n ) 足够大时，样本均值 ( \bar{X}_n ) 近似服从正态分布：
  $${\bar{X}}_n\sim N\left(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n}\right)$$
  • 均值 $\mu$，标准差 $\sigma /\sqrt{n}$
• 关键点：
  1. 无论原始分布如何，均值分布趋近正态
  2. 均值分布的方差随样本量 ( n ) 增大而减小

2. 量化应用：构建收益置信区间

假设某策略日收益标准差 ( \sigma = 2% )，回测 ( n=252 ) 天（约1年），样本均值 ( \bar{R} = 0.1% )，则 95% 置信区间为：：

$$\bar{R}\pm 1.96\times \frac{\sigma }{\sqrt{n}}$$

• 例：$\bar{R}=0.1\%$，$\sigma =2\%$，$n=252$，计算得 $0.1\%\pm 0.25\%$
• 若区间包含0，则不能排除策略无效的可能性

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四、Python实战：代码验证与可视化

1. 验证大数定律

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 生成指数分布数据（均值μ=2）
np.random.seed(42)
data = np.random.exponential(scale=2, size=10000)# 计算累积均值
cumulative_means = np.cumsum(data) / np.arange(1, 10001)# 可视化
plt.plot(cumulative_means, label='样本均值')
plt.axhline(2, color='red', linestyle='--', label='真实均值 μ=2')
plt.xlabel('样本量')
plt.ylabel('均值')
plt.legend()
plt.show()

输出说明：

• 初始阶段样本均值波动剧烈
• 当样本量超过3000后，均值稳定在2附近

2. 验证中心极限定理

# 从指数分布中重复抽样（每组n=50）
sample_means = [np.mean(np.random.exponential(2, 50)) for _ in range(1000)]# 绘制直方图
plt.hist(sample_means, bins=30, density=True, alpha=0.6)# 叠加理论正态分布曲线
mu = 2
sigma = 2 / np.sqrt(50)
x = np.linspace(mu - 3*sigma, mu + 3*sigma, 100)
plt.plot(x, 1/(sigma * np.sqrt(2*np.pi)) * np.exp(-0.5*((x - mu)/sigma)**2), 'r')
plt.show()

输出说明：

• 直方图形状接近钟形曲线
• 红色曲线为理论正态分布，与数据高度吻合

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五、关键总结

概念	核心思想	量化应用场景
随机变量	将不确定性事件映射为数值	定义交易信号、收益等指标
概率分布	描述随机变量的可能性分布	建模价格波动、评估风险
大数定律	样本均值收敛于总体均值	验证策略稳定性、减少偶然性
中心极限定理	均值分布趋近正态，简化统计分析	构建置信区间、假设检验

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六、思考与练习

1. 假设某策略单次交易盈利概率为40%，计算在100次交易中至少盈利45次的概率（用二项分布公式）。
2. 若某股票日收益率服从正态分布 ( N(0.1%, 2%) )，计算其年化（252天）收益率的95%置信区间。
3. 修改Python代码，将指数分布改为均匀分布 ( U(0, 4) )，观察大数定律和CLT是否仍然成立。