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Segment Tree

线段树（Segment Tree）是一种高级数据结构，主要用于在区间范围内高效地进行查询与修改操作。它是一个二叉树结构，每个节点代表一个区间的信息，通常用于解决如下问题：

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1 基本概念

线段树是对一个区间 [l, r] 上的数列进行划分，并在每个子区间上维护某种信息（如最值、和、最大公约数等）。

• 节点表示一个区间
• 根节点表示整个区间
• 每个节点的两个子节点分别表示当前区间的左右子区间

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2 基本思想

构建线段树是将区间不断对半划分，直到区间中只包含一个元素。每个节点保存其所代表区间的值（如区间和、最大值、最小值等）。

• 建树复杂度：O(n)
• 单点更新复杂度：O(log n)
• 区间查询复杂度：O(log n)
• 区间修改（懒标记）：O(log n)

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3 适用场景

线段树适用于以下问题：

场景	描述
区间求和	查询某个区间内所有元素的和
区间最值	查询某个区间内最大值或最小值
区间更新	给某个区间内所有元素加/减某个值
区间 GCD	查询某区间所有元素的最大公约数
动态维护序列统计信息	在元素更新的同时仍能高效查询

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4 代码示例（区间求和）

• C++版本：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;class SegmentTree {
private:vector<int> tree;int n;void build(vector<int>& nums, int node, int l, int r) {if (l == r) {tree[node] = nums[l];} else {int mid = (l + r) / 2;build(nums, 2 * node + 1, l, mid);build(nums, 2 * node + 2, mid + 1, r);tree[node] = tree[2 * node + 1] + tree[2 * node + 2];}}void update(int index, int value, int node, int l, int r) {if (l == r) {tree[node] = value;} else {int mid = (l + r) / 2;if (index <= mid)update(index, value, 2 * node + 1, l, mid);elseupdate(index, value, 2 * node + 2, mid + 1, r);tree[node] = tree[2 * node + 1] + tree[2 * node + 2];}}int query(int ql, int qr, int node, int l, int r) {if (qr < l || ql > r)return 0;  // 无交集if (ql <= l && r <= qr)return tree[node];  // 完全包含int mid = (l + r) / 2;int left_sum = query(ql, qr, 2 * node + 1, l, mid);int right_sum = query(ql, qr, 2 * node + 2, mid + 1, r);return left_sum + right_sum;}public:SegmentTree(vector<int>& nums) {n = nums.size();tree.resize(4 * n);build(nums, 0, 0, n - 1);}void update(int index, int value) {update(index, value, 0, 0, n - 1);}int query(int ql, int qr) {return query(ql, qr, 0, 0, n - 1);}
};

• python 版本

class SegmentTree:def __init__(self, nums):self.n = len(nums)self.tree = [0] * (4 * self.n)  # 开4倍空间self._build(nums, 0, 0, self.n - 1)def _build(self, nums, node, l, r):if l == r:self.tree[node] = nums[l]else:mid = (l + r) // 2self._build(nums, 2 * node + 1, l, mid)self._build(nums, 2 * node + 2, mid + 1, r)self.tree[node] = self.tree[2 * node + 1] + self.tree[2 * node + 2]def update(self, index, value, node=0, l=0, r=None):if r is None:r = self.n - 1if l == r:self.tree[node] = valueelse:mid = (l + r) // 2if index <= mid:self.update(index, value, 2 * node + 1, l, mid)else:self.update(index, value, 2 * node + 2, mid + 1, r)self.tree[node] = self.tree[2 * node + 1] + self.tree[2 * node + 2]def query(self, ql, qr, node=0, l=0, r=None):if r is None:r = self.n - 1if qr < l or ql > r:return 0  # 无交集if ql <= l and r <= qr:return self.tree[node]  # 完全包含mid = (l + r) // 2left_sum = self.query(ql, qr, 2 * node + 1, l, mid)right_sum = self.query(ql, qr, 2 * node + 2, mid + 1, r)return left_sum + right_sum

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5 使用示例

• C++版本

int main() {vector<int> nums = {1, 3, 5, 7, 9, 11};SegmentTree seg(nums);cout << "区间 [1, 3] 的和: " << seg.query(1, 3) << endl;  // 输出 15seg.update(1, 10);  // 将 nums[1] 改为 10cout << "更新后区间 [1, 3] 的和: " << seg.query(1, 3) << endl;  // 输出 22return 0;
}

• python版本

nums = [1, 3, 5, 7, 9, 11]
seg = SegmentTree(nums)
print(seg.query(1, 3))  # 输出：15（3 + 5 + 7）
seg.update(1, 10)
print(seg.query(1, 3))  # 输出：22（10 + 5 + 7）

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6 使用注意事项

1. 空间消耗大：为了避免越界，需要预分配约 4 倍原始数组大小的空间。
2. 边界细节多：区间划分时容易出错，如 (l + r) // 2、递归终止条件。
3. 懒标记复杂度高：当要进行区间修改时，引入懒惰标记（Lazy Propagation）会使实现变复杂。
4. 更新频率高适合使用树状数组（Binary Indexed Tree）：如只支持前缀和。

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7 进阶拓展

• 懒惰标记（Lazy Propagation）：支持区间更新，优化大量重复更新操作。
• 可持久化线段树：支持版本控制、历史查询。
• 线段树合并：用于合并多个线段树数据。
• 二维线段树：处理二维矩阵中的区间查询。