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一、

定理：基本初等函数在其定义域内是连续函数。(由函数的图像可知定理的正确性)

二、连续函数的四则运算性质：

定理：若函数f(x),g(x)在点x0处连续，则函数f(x)+(-)g(x)，f(x)g(x),f(x)/g(x)(g(x0)<>0)都在点x0处连续。

以f(x)g(x)为例看此定理的正确性：

由于函数f(x),g(x)在点x0处连续，故有

x->x0*limf(x)=f(x0),x->x0*limg(x)=g(x0)

从而

x->x0*limf(x)g(x)=x->x0*limf(x) x->x0*limg(x)=f(x0)g(x0)

由连续性的定义知函数f(x)g(x)在点x0处连续

三、定理：若函数y=f(u)在点x0处连续，x->x0*limφ(x)=u0，则复合函数y=f(φ(x))当x->x0时极限存在，且x->x0*limf(φ(x))=f(u0)注意到u0=x->x0limφ(x)，所以该定理可写成：x->x0*limf(φ(x))=f(x->x0*limφ(x))这表明：当f(u)是连续函数时，求复合函数f(φ(x))的极限可将极限号写到函数符号f的里面。

注：

该结论中，f(u0)可写成f(u0)=u->u0*limf(u)，所以，该定理中的结论又可以写成：

x->x0*limf(φ(x))=u->u0*limf(u)，u=φ(x)

这表明x->x0*limf(φ(x))通过做变量替换u=φ(x)则可化成表达式u->u0*limf(u)，这正是我们在求极限时可以用变量替换方法来化简的理论依据。

例1:求极限x->0*limln(sinx/x)

由于x->0*limsinx/x=1，而y=lnu在(0,+∞)内连续，故有x->0*limln(sinx/x)=ln(x->0*lim(sinx/x)=0

例2：求极限x->0*lim[ln(1+x)/x]

x->0*lim[ln(1+x)/x]=x->0*limln(1+x)^(1/x)=ln(x->0*lim(1+x)^(1/x))=lne=1

可得一个等价无穷小：ln(1+x)~x(当x->0)

例3：求极限x->0*lim[(e^x-1)/x]

设e^x-1=u，则x=ln(1+u)，当x->0时，u->0，代入原式有

x->0*lim[(e^x-1)/x]=u->0*limu/[ln(1+u)]=1(根据定理和例2可得)

可得一个等价无穷小：e^x-1~x(当x->0)

用类似的方法还可以推出以下等价无穷小:

arcsinx~x(当x->0),arctanx~x(当x->0)

四、复合函数连续性：

定理：若函数u=Φ(x)在点x0处连续，函数y=f(u)在u0=Φ(x0)处连续，则复合函数y=f(Φ(x))在点x0处连续。

由定理二和定理四可知：

一切初等函数在其定义区间（定义域内的区间）内都是连续函数。

由于初等函数在其定义区间上连续，所以初等函数在其定义区间上一定有原函数。