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仿射变换

仿射变换包括平移、旋转、缩放和错切四种基本变换的组合，广泛应用于计算机图形学、图像处理和计算机视觉等领域。

仿射变换的一般矩阵表示

在二维空间中，仿射变换可以抽象表示为：

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}a& b& t_x\\ c& d& t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]$$

其中，$(x,y)$是原始图像中的一个点，$(x\prime ,y\prime )$是经过变换后的图像中的对应点。$(a,b,c,d)$描述线性变换部分，$(t_x,t_y)$用于描述平移 。

在三维空间中，仿射变换可以抽象表示为：

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}a& b& c& t_x\\ d& e& f& t_y\\ g& h& i& t_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]$$

其中，$(x,y,z)$ 是原始图像中的一个点，$(x\prime ,y\prime ,z^{\prime })$ 是经过变换后的图像中的对应点。$(a,b,c,d,e,f,g,h,i)$描述线性变换部分，$(t_x,t_y,t_z)$ 用于描述平移 。

四种基本变换的矩阵表示

1. 平移（Translation）

平移变换是指将图像中的所有点沿某个方向移动相同的距离。

其二维空间矩阵表示为：

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& t_x\\ 0& 1& t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]$$

其中，$(x,y)$是原始图像中的一个点，$(x\prime ,y\prime )$是经过变换后的图像中的对应点。$t_x$ 和 $t_y$ 分别是沿 x 轴和 y 轴的平移距离。

其三维空间矩阵表示为：

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& t_x\\ 0& 1& 0& t_y\\ 0& 0& 1& t_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]$$

其中，$(x,y,z)$ 是原始图像中的一个点，$(x\prime ,y\prime ,z^{\prime })$ 是经过变换后的图像中的对应点。$t_x$ 、 $t_y$ 和 $t_z$分别是沿 x 轴、 y 轴和 z 轴的平移距离。

2. 缩放（Scaling）

缩放变换用于改变图像各轴的大小。

其二维空间矩阵表示为：

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{s}_x& 0& 0\\ 0& s_y& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]$$

其中，$(x,y)$是原始图像中的一个点，$(x\prime ,y\prime )$是经过变换后的图像中的对应点。$s_x$ 和 $s_y$ 分别是沿 x 轴和 y 轴的缩放因子。当 $s_x$=$s_y$时，图像均匀缩放。

其三维空间矩阵表示为：

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{s}_x& 0& 0& 0\\ 0& s_y& 0& 0\\ 0& 0& s_z& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]$$

其中，$(x,y,z)$ 是原始图像中的一个点，$(x\prime ,y\prime ,z^{\prime })$ 是经过变换后的图像中的对应点。$s_x$ 、 $s_y$ 和 $s_z$分别是沿 x 轴、 y 轴和 z 轴的缩放因子。当 $s_x$=$s_y$=$s_z$时，图像均匀缩放。

3. 旋转（Rotation）

旋转变换是指将图像绕某个点（通常是原点）旋转一个角度。

其二维空间矩阵表示为：

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}cos\alpha & -sin\alpha & 0\\ sin\alpha & cos\alpha & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]$$

其中，$(x,y)$是原始图像中的一个点，$(x\prime ,y\prime )$是经过变换后的图像中的对应点。α 是旋转角度，旋转中心是图像原点，不是中心点，原点通常是左上角。

其三维空间矩阵表示为：

1️⃣绕 x 轴旋转:

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& \cos \alpha & -\sin \alpha & 0\\ 0& \sin \alpha & \cos \alpha & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]$$

2️⃣绕 y 轴旋转:

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}\cos \alpha & 0& \sin \alpha & 0\\ 0& 1& 0& 0\\ -\sin \alpha & 0& \cos \alpha & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]$$

3️⃣绕 z 轴旋转:

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}\cos \alpha & -\sin \alpha & 0& 0\\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]$$

其中，$(x,y,z)$ 是原始图像中的一个点，$(x\prime ,y\prime ,z^{\prime })$ 是经过变换后的图像中的对应点。$\alpha$是沿各轴的旋转角度。

4. 错切（Shearing）

错切变换是一种较为特殊的仿射变换，它会使图像在某个方向上发生倾斜。

其二维空间矩阵表示为：

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& s{h}_x& 0\\ s{h}_y& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]$$

其中，$(x,y)$是原始图像中的一个点，$(x\prime ,y\prime )$是经过变换后的图像中的对应点。$s{h}_x$和 $s{h}_y$分别是沿 x 轴和 y 轴的错切因子。

其三维空间矩阵表示为：

1️⃣绕 x 轴错切:

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& a& b& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]$$

2️⃣绕 y 轴错切:

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ c& 1& d& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]$$

3️⃣绕 z 轴错切:

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ e& f& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]$$

其中，$(x,y,z)$ 是原始图像中的一个点，$(x\prime ,y\prime ,z^{\prime })$ 是经过变换后的图像中的对应点。$(a,b,c,d,e,f)$ 是错切参数，分别控制沿不同方向的错切程度。

基本变换的组合

通过矩阵乘法，我们可以将多个基本变换组合成一个复合变换。例如，二维空间下，先平移再旋转，其复合变换矩阵为：

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}cos\alpha & -sin\alpha & 0\\ sin\alpha & cos\alpha & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& t_x\\ 0& 1& t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]$$

其中，矩阵乘法的顺序决定了符合变换的顺序，靠前的操作在右边。