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1, 红黑树的概念

红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个节点上增加一个存储位表示节点的颜色，可以是 Red 或 Black。通过对任何一条从根到叶子的路径上各个节点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出 2 倍，因而是接近平衡的。

2. 红黑树的性质

1. 每个节点不是红色就是黑色；
2. 根节点是黑色的；
3. 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子节点是黑色的；
4. 对于每个节点，从该节点到其所有后代叶节点的简单路径上，均包含相同数目的黑色节点；
5. 每个叶子节点都是黑色的（此处的叶子节点指的是空节点）。

思考：为什么满足上面的性质，红黑树就能保证：其最长路径中节点个数不会超过最短路径节点个数的两倍？

3. 红黑树节点的定义

// 节点的颜色
enum Color { RED, BLACK };// 红黑树节点的定义
template<class ValueType>
struct RBTreeNode
{RBTreeNode(const ValueType& data = ValueType()，Color color = RED): _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr), _data(data), _color(color){}RBTreeNode<ValueType>* _pLeft; 		// 节点的左孩子RBTreeNode<ValueType>* _pRight;		// 节点的右孩子RBTreeNode<ValueType>* _pParent;	// 节点的双亲(红黑树需要旋转，为了实现简单给出该字段)ValueType _data; 					// 节点的值域Color _color; 						// 节点的颜色
};

思考：在节点的定义中，为什么要将节点的默认颜色给成红色的？

4. 红黑树的结构

为了后续实现关联式容器简单，红黑树的实现中增加一个头节点，因为根节点必须为黑色，为了与根节点进行区分，将头节点给成黑色，并且让头节点的 pParent 域指向红黑树的根节点，pLeft 域指向红黑树中最小的节点，pRight 域指向红黑树中最大的节点，如下：

5. 红黑树的插入操作

红黑树是在二叉搜索树的基础上加上其平衡限制条件，因此红黑树的插入可分为两步：

1. 按照二叉搜索树的树规则插入新节点：

   template<class ValueType>
   class RBTree
   {//……bool Insert(const ValueType& data){PNode& pRoot = GetRoot();if (nullptr == pRoot){pRoot = new Node(data, BLACK);// 根的双亲为头节点pRoot->_pParent = _pHead;_pHead->_pParent = pRoot;}else{// 1. 按照二叉搜索的树方式插入新节点// 2. 检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏，// 若满足直接退出，否则对红黑树进行旋转着色处理}// 根节点的颜色可能被修改，将其改回黑色pRoot->_color = BLACK;_pHead->_pLeft = LeftMost();_pHead->_pRight = RightMost();return true;}
   private:PNode& GetRoot() { return _pHead->_pParent; }// 获取红黑树中最小节点，即最左侧节点PNode LeftMost();// 获取红黑树中最大节点，即最右侧节点PNode RightMost();
   private:PNode _pHead;
   };
   

2. 检测新节点插入后，红黑树的性质是否遭到破坏：

   因为新节点的默认颜色是红色，因此：如果其双亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树任何性质，则不需要调整；但当新插入节点的双亲节点颜色为红色时，就违反了性质三：不能有连在一起的红色节点，此时需要对红黑树分情况来讨论：

   约定：cur 为当前节点，p 为父节点，g 为祖父节点，u 为叔叔节点。

   • 情况一：cur 为红，p 为红，g 为黑，u 存在且为红

     

     cur 和 p 均为红，违反了性质三，此处能否将 p 直接改为黑？

     解决方式：将 p，u 改为黑，g 改为红，然后把 g 当成 cur，继续向上调整。

   • 情况二：cur 为红，p 为红，g 为黑，u 不存在 / u 存在且为黑

     

     p 为 g 的左孩子，cur 为 p 的左孩子，则进行右单旋转；相反，
     p 为 g 的右孩子，cur 为 p 的右孩子，则进行左单旋转；
     p、g 变色 – p 变黑，g 变红。

   • 情况三：cur 为红，p 为红，g 为黑，u 不存在 / u 存在且为黑

     

     p 为 g 的左孩子，cur 为 p 的右孩子，则针对 p 做左单旋转；相反，
     p 为 g 的右孩子，cur 为 p 的左孩子，则针对 p 做右单旋转；
     则转换成了情况 2。

   针对每种情况进行相应的处理即可。

   bool Insert(const ValueType& data)
   {// ...// 新节点插入后，如果其双亲节点的颜色为空色，则违反性质3：不能有连在一起的红色结点while (pParent && RED == pParent->_color){// 注意：grandFather一定存在// 因为pParent存在，且不是黑色节点，则pParent一定不是根，则其一定有双亲PNode grandFather = pParent->_pParent;// 先讨论左侧情况if (pParent == grandFather->_pLeft){PNode unclue = grandFather->_pRight;// 情况三：叔叔节点存在，且为红if (unclue && RED == unclue->_color){pParent->_color = BLACK;unclue->_color = BLACK;grandFather->_color = RED;pCur = grandFather;pParent = pCur->_pParent;}else{// 情况五：叔叔节点不存在，或者叔叔节点存在且为黑if (pCur == pParent->_pRight){_RotateLeft(pParent);swap(pParent, pCur);}// 情况五最后转化成情况四grandFather->_color = RED;pParent->_color = BLACK;_RotateRight(grandFather);}}else{// 右侧请大家自己动手完成}}// ...
   }
   

6. 红黑树的验证

红黑树的检测分为两步：

1. 检测其是否满足二叉搜索树（中序遍历是否为有序序列）；
2. 检测其是否满足红黑树的性质。

bool IsValidRBTree()
{PNode pRoot = GetRoot();// 空树也是红黑树if (nullptr == pRoot)return true;// 检测根节点是否满足情况if (BLACK != pRoot->_color){cout << "违反红黑树性质二：根节点必须为黑色" << endl;return false;}// 获取任意一条路径中黑色节点的个数size_t blackCount = 0;PNode pCur = pRoot;while (pCur){if (BLACK == pCur->_color)blackCount++;pCur = pCur->_pLeft;}// 检测是否满足红黑树的性质，k用来记录路径中黑色节点的个数size_t k = 0;return _IsValidRBTree(pRoot, k, blackCount);
}bool _IsValidRBTree(PNode pRoot, size_t k, const size_t blackCount)
{//走到null之后，判断k和black是否相等if (nullptr == pRoot){if (k != blackCount){cout << "违反性质四：每条路径中黑色节点的个数必须相同" << endl;return false;}return true;}// 统计黑色节点的个数if (BLACK == pRoot->_color)k++;// 检测当前节点与其双亲是否都为红色PNode pParent = pRoot->_pParent;if (pParent && RED == pParent->_color && RED == pRoot->_color){cout << "违反性质三：没有连在一起的红色节点" << endl;return false;}return _IsValidRBTree(pRoot->_pLeft, k, blackCount)&& _IsValidRBTree(pRoot->_pRight, k, blackCount);
}

7. 红黑树与 AVL 树的比较

红黑树和 AVL 树都是高效的平衡二叉树，增删改查的时间复杂度都是 O($lo{g}_{2}N$)，红黑树不追求绝对平衡，其只需保证最长路径不超过最短路径的 2 倍，相对而言，降低了插入和旋转的次数，所以在经常进行增删的结构中性能比 AVL 树更优，而且红黑树实现比较简单，所以实际运用中红黑树更多。

8. 红黑树的应用

1. C++ STL 库 – map / set、multi_map / multi_set；
2. Java 库；
3. Linux 内核；
4. 其他一些库；
5. …

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END