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支持向量机（SVM）是一种强大的监督学习算法，广泛应用于分类和回归任务。本文详细探讨了SVM的理论基础，包括最大间隔分离超平面、软间隔和核技巧（Kernel Trick）的数学原理，并通过LaTeX公式推导其优化目标。接着，我们用C++实现了一个简单的线性SVM，包括梯度下降优化求解支持向量，并附带详细的中文注释。此外，文章介绍了核函数（如RBF核）的应用，以及如何通过软间隔处理非线性可分数据。实验部分对比了线性SVM与核SVM在不同数据集上的性能，分析了参数（如正则化系数C和核参数γ）对模型的影响。最后，我们讨论了SVM的优缺点及其在实际应用中的改进方向（如SMO算法）。本文适合对机器学习和C++编程感兴趣的读者，帮助他们理解SVM的理论与实践，掌握其实现细节。
正文
1. 引言
支持向量机（Support Vector Machine, SVM）是机器学习领域中一种经典的监督学习算法，特别适用于分类问题。其核心思想是通过寻找一个最优超平面，将不同类别的样本最大化间隔，从而实现分类。SVM不仅适用于线性可分数据，还通过核技巧（Kernel Trick）处理非线性数据，使其在图像识别、自然语言处理等领域表现出色。
本文将从SVM的理论基础入手，推导其数学模型，展示C++实现，并探讨优化策略和性能分析。目标是帮助读者理解SVM的内在机制，并掌握其编程实践。
2. 支持向量机的理论基础
2.1 基本思想
SVM的目标是找到一个超平面 (w^T x + b = 0)，使得不同类别的样本点到超平面的距离（间隔）最大化。对于线性可分数据，间隔定义为两类支持向量之间的距离，记为 (2/||w||)，其中 (w) 是超平面的法向量，(||w||) 是其范数。
2.2 硬间隔优化问题
对于线性可分数据，SVM的优化目标是最大化间隔，同时满足分类约束。数学表达为：
-
约束条件，满足：
y i ( w T x i + b ) ≥ 1 , ∀ i y_i (w^T x_i + b) \geq 1, \quad \forall i yi(wTxi+b)≥1,∀i -
目标函数：最大化间隔 2 / ∣ ∣ w ∣ ∣ 2/||w|| 2/∣∣w∣∣，等价于最小化 ∣ ∣ w ∣ ∣ 2 / 2 ||w||^2/2 ∣∣w∣∣2/2：
min w , b 1 2 ∣ ∣ w ∣ ∣ 2 \min_{w, b} \frac{1}{2} ||w||^2 w,bmin21∣∣w∣∣2
这是一对约束优化问题，可通过拉格朗日乘子法转化为对偶问题。
2.3 软间隔与正则化
实际数据通常不可完全线性分离，因此引入软间隔（Soft Margin），允许部分误分类点。引入松弛变量 ξ i ≥ 0 \xi_i \geq 0 ξ