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1. 二叉搜索树

1.1 二叉搜索树的概念

相比较前文的堆，二叉搜索树并不需要必须是一棵完全二叉树

二叉搜索树（二叉排序树或二叉查找树，简称BST）是具有以下特性的二叉树：

1. 若它的左子树非空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值。

2. 若它的右子树非空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值。

3. 它的左、右子树也分别为二叉搜索树。

即左子树结点的值 < 根结点的值 < 右子树结点值（在二叉搜索树中，一般不存在值相同的两个结点）

所以，对二叉搜索树中序遍历，可以得到一个递增的有序序列

1.2 二叉搜索树的查找、插入和删除

查找：

二叉搜索树查找从根节点开始，逐层向下比较，先让给出的值与根结点比较，如果相等，就结束；如果小于根结点，就在根结点的左子树上查找；如果大于根结点，就在根结点的右子树上查找。递归进行，直到查找到叶子结点

因为查找是逐层的，所以查找的时间复杂度一般是O(log N)，但是，树高最差会没有分支，变成2单链表，考虑最坏情况，所以时间复杂度为O(N)

插入：

二叉搜索树的插入操作要以查找操作为基础，查找过程中，树不存在给定的值时再插入，插入的结点一定是新的叶结点（查找失败时访问的最后一个结点的左孩子或右孩子）

因为插入和查找相绑定，所以时间复杂度为O(N)

对于插入，如果二叉搜索树为空树，要插入是所有结点的值都相同，插入顺序不同所构造的二叉搜索树也不同

删除：

二叉搜索树的删除操作也要以查找操作为基础，但对于删除操作，可能删除某个结点后，这棵树就不满足二叉搜索树的特性，所以删除有多种情况：

1.  删除的结点是叶子结点，直接删除

2. 删除的结点 m 只有一棵左子树或右子树，则让 m 的子树成为 m 父结点的子树，替代 m

3. 删除的结点 m 的左右子树都存在，有两种方法：

   3.1 让 m 的直接后继（m 的右子树中最小的结点）替代 m ，然后删除这个直接后继

   3.2 让 m 的直接前驱（ m 的左子树中最大的结点）替代 m ，然后删除这个直接前驱

对于直接前驱和直接后继 ：

将二叉搜索树中序遍历，会得到一个递增的有序序列。而 m 的直接后继，就是这个序列中 m 的后继，在树中就是 m 的右子树最左下的结点（该结点无左子树）；m 的直接前驱，就是这个序列中 m 的前驱，在树中就是 m 的左子树最右下的结点（该结点无右子树）

而之后的删除直接前驱或直接后继，因为无右子树或无左子树，可以按照方法 1，2 进行删除

2. 平衡二叉树

2.1 平衡二叉树的概念

因为二叉搜索树在某些情况下会没有分支，退化为单链表，所以我们需要一些方法维持二叉搜索树的“ 平衡 “，而使用下面方法维持平衡的，就是平衡二叉树，平衡二叉树就是一种特殊的二叉搜索树（具有二叉搜索树的性质）

规定在插入和删除结点时，保证任意结点的左、右子树的高度差的绝对值不超过 1 ，这样的二叉搜索树被称为平衡二叉树（AVL树）

平衡因子：结点的左子树和右子树的高度差，平衡二叉树中每一个结点的平衡因子只可能是 -1、0、1

2.2 查找

和二叉搜索树的查找一样：从根节点开始，逐层向下比较，先让给出的值与根结点比较，如果相等，就结束；如果小于根结点，就在根结点的左子树上查找；如果大于根结点，就在根结点的右子树上查找。递归进行，直到查找到叶子结点

时间复杂度：因为平衡二叉树限制子树的树高差，所以不会出现二叉搜索树那样极端的情况，因此时间复杂度为 O(log N)

2.3 插入

2.3.1 插入的背景

先按照二叉搜索树的方法进行插入，但插入结点后，可能改变了左右子树的树高差，让平衡因子的绝对值大于 1 ，所以需要再调整这棵树的结构。

在调整结构前，我们要知道一个概念：最小不平衡子树

最小不平衡子树：在平衡二叉树中，以离插入节点最近且平衡因子绝对值大于 1 的节点为根的子树。（ 当对平衡二叉树进行插入操作时，可能会导致树的平衡性被破坏，从插入节点开始向上查找，第一个出现平衡因子绝对值大于 1 的节点所对应的子树就是最小不平衡子树 ）

对于插入操作，仅需调整最小不平衡子树，就可以让所以结点平衡：

这棵树原来就是平衡二叉树，如果插入一个结点后失衡，那失衡的平衡因子的绝对值只能是2

当最小平衡子树调整平衡后，这棵子树的高度减1，向上传递，就让整个路径的平衡因子向下靠近，树就平衡了

对于插入操作的时间复杂度：后续的调整仅需修改指针，所以最大的时间开销和查找一样，所以时间复杂度为O(log N)

2.3.2 插入的方法

最小不平衡子树的出现分为 4 种情况，所以调整方法也有 4 种情况（下面情况假设最小不平衡子树的根结点为 T，左孩子为 L，右孩子为 R，左孩子的右孩子为 LR，右孩子的左孩子为 RL）

2.3.2.1 LL型 - 右单旋

LL型：新结点插入到 T 结点的左孩子（L）的左子树（L）中，导致失衡

右单旋：将结点 T 以左孩子 L 为轴向右下旋转作为结点 L 的右子树的根结点

              结点 L 的原右子树则作为结点 T 的左子树

              结点 L 就代替 T 成为根节点

2.3.2.2 RR型 - 左单旋

RR型：新结点插入到 T 结点的右孩子 (R) 的右子树（R）中，导致失衡

左单旋：将结点 T 以右孩子 R 为轴向左下旋转作为结点 R 的左子树的根结点

              结点 R 的原左子树则作为结点 T 的右子树

              结点 R 就代替 T 成为根结点

2.3.2.3 LR型 - 左右双旋

左右双旋分为两步，先左旋，再右旋

LR型：新结点插入到 T 结点的左孩子（L）的右子树（R）中，导致失衡

左旋：将结点 L 以 LR 为轴向左下旋转作为 LR 的左子树的根节点

           结点 LR 的原左子树则作为结点 L 的右子树

           结点 LR 就替代 L 成为根结点

右旋：将结点 T 以 LR 为轴向右下旋转作为结点 LR 的右子树的根结点

           结点 LR 的原右子树则作为结点 T 的左子树

           结点 LR 就替代 T 成为根结点

2.3.2.4 RL型 - 右左双旋

右左双旋分为量步，先右旋，再左旋

RL型：新结点插入到 T 结点的右孩子（R）的左子树（L）中，导致失衡

右旋：将结点 R 以 RL 为轴向右下旋转作为 RL 的右子树的根结点

           结点 RL 的原右子树则作为结点 R 的右子树

           结点 RL 就替代 R 成为根结点

左旋：将结点 T 以 RL 为轴向左下旋转作为 RL 的左子树的根结点

           结点 RL 的原左子树则作为结点 T 的右子树

           结点 RL 就替代 T 成为根结点

2.4 删除

删除操作和二叉搜索树的删除操作相似，删除后的调整思想和插入操作后的调整思想相似，时间复杂度为O(log N)

步骤：

1. 用二叉搜索树的删除方法对结点 e 进行删除

2. 从结点 e 开始，向上找到最小不平衡子树（假设第一个不平衡结点为 T ，结点 T 的高度最高的孩子结点为 X，结点 X 的高度最高的孩子结点为 Y）

3. 对以 Y 为根的子树进行平衡调整，根据 Y、X、T的位置可同插入操作一样分为 4 种情况：

         a.  LL型 - 右单旋：X 是 T 的左孩子（L），Y 是 X 的左孩子（L）

         b.  RR型 - 左单旋：X 是 T 的右孩子（R），Y 是 X 的右孩子（R） 

         c.  LR型 - 左右双旋：X 是 T 的左孩子（L），Y 是 X 的右孩子（R）

         d.  RL型 - 右左双旋：X 是 T 的右孩子（R），Y 是 X 的左孩子（L） 

4. 调整之后，继续向上找下一个最小不平衡子树，重复 3 操作，直到找不到为止

（ 因为删除操作不像插入操作一样，删除操作可能导致大量结点失衡，一次调整不能保证整棵树的结点是平衡的。所以需要不断调整，重复 3 过程）

3. 红黑树

3.1 红黑树的概念和性质

红黑树（简称RBT）也是一个二叉搜索树，它具有二叉搜索树的特性。它在二叉搜索树的基础上，让它的每个节点都有一个颜色属性，可以是红色或黑色。通过下面的各个结点的着色规则限制，确保没有一条路径会比其他路径长出 2 倍，所以红黑树是一棵接近平衡的二叉搜索树

着色规则：

1. 每个结点是红色或黑色

2. 根结点和叶子节点（这里的叶子结点不是常规树上的叶子结点，而是空结点(NULL)是黑色

3.每个红色结点的两个子结点都是黑色（任意一条路径上不会有连续的红色结点）

4. 任意一个结点，从该结点到其所有叶子结点的路径上，均包含相同数目的黑色结点

由于红黑树的着色规则，我们可以得到它的两个重要性质：

1. 从根结点到叶子结点的最长路径不会大于最短路径的 2 倍

2. 有 n 个结点的红黑树，高度 h <= 2log(n+1),即查找的时间复杂度为O(log N)

3.2 查找

红黑树的查找和二叉搜索树的查找一样：从根节点开始，逐层向下比较，先让给出的值与根结点比较，如果相等，就结束；如果小于根结点，就在根结点的左子树上查找；如果大于根结点，就在根结点的右子树上查找。递归进行，直到查找到叶子结点

时间复杂度为O(log N)

3.3 插入

3.3.1 插入步骤

1. 先按照二叉搜索树的插入方式进行插入，新插入的结点默认为红色

（ 如果默认黑色，那么这条路径的黑色结点增多，要调整所有从根节点到叶子结点的路径，让树重新符合红黑树的特性。调整规模过于庞大

如果默认红色，那么只会破坏根结点不能为红色和不能出现连续的红色结点的规则，调整起来相对简单 ）

2. 如果新插入结点破坏红黑树的规则，那么要分情况调整

3.3.2 调整方法

假设新插入的结点为 c（cur），父结点为 p（parent），父结点的父结点为 g（grandfather），父结点的兄弟结点为 u （uncle）

3.3.2.1 插入的是根结点

直接将结点颜色变为黑色

3.3.2.2 插入节点的叔叔结点是红色

父亲、叔叔、爷爷结点同时变色，将爷爷结点看成新插入的结点，继续向上判断

（ p、u 变为黑色，g 变成红色，整个路径的黑色结点数目保持平衡，数量不变；但 g 变成红色，可能 g 是根结点，或 g 的父亲结点也是红色，违反规则，所以将 g 当成插入结点重新判断）

3.3.2.3 插入节点的叔叔结点是黑色

这种情况要分类讨论，根据插入结点、父结点和爷爷结点的位置旋转+变色

3.3.2.3.1 LL型 - 右单旋 + 父爷变色

LL型：新结点为 g 结点的左孩子 p （L）的左孩子（L）

1. 右旋父亲结点（将爷爷结点以父亲结点为轴向右下旋转）

2. 将父亲结点和爷爷结点进行变色

3.3.2.3.2 RR型 - 左单旋 + 父爷变色

RR型：新结点为 g 结点的右孩子 p（R）的右孩子（R）

1. 左旋父亲结点（将爷爷结点以父亲结点为轴向左下旋转）

2. 将父亲结点和爷爷结点进行变色

3.3.2.3.3 LR型 - 左右双旋 + 儿爷变色

LR型：新结点为 g 结点的左孩子 p（L）的右孩子（R）

1. 新结点先左旋，再右旋（先将 p 结点以新结点为轴向左下旋转，新结点代替 p 结点的位置；再将 g 结点以新结点为轴向右下旋转）

2. 将新结点和爷爷结点进行变色

3.3.2.3.4 RL型 - 右左双旋 + 儿爷变色

RL型：新结点为 g 结点的右孩子 p（R）的左孩子（L）

1. 新结点先右旋，再左旋（先将 p 结点以新结点为轴向右下旋转，新结点代替 p 结点的位置，再将 g 结点以新结点为轴向左下旋转）

2. 将新结点和爷爷结点进行变色

3.4 删除

删除操作较复杂，为控制篇幅，之后篇章再讨论

4. STL —— set和map

4.1 set/multiset

set 和 multiset 的区别：set 不能存相同元素，multiset 可以存相同元素，其他的使用方法完全一致

所以set可以用来给数据去重

#include<iostream>
#include<set>
using namespace std;void test()
{set<int> mp;//insert:插入元素,时间复杂度O(log N)for (int i = 5; i >= 1; i--){mp.insert(i);}//begin/end，返回迭代器，可以用范围 for 遍历整个红黑树//中序遍历 set，结果应该递增有序for (auto x : mp){cout << x << " ";}cout << endl;//size:返回 set 中元素个数，时间复杂度O(1)cout << mp.size() << endl;//empty:判断 set 是否为空，时间复杂度O(1)if (!mp.empty()) cout << "非空" << endl;//erase:删除元素，时间复杂度O(log N)mp.erase(5);mp.erase(4);for (auto x : mp){cout << x << " ";}cout << endl;//find:查找一个元素，返回迭代器，时间复杂度O(log N)//cout：查询元素出现的次数，一般用来判断元素是否在红黑树中，时间复杂度O(log N)//想查找元素是否在set中，我们一般使用count，而非find，因为find返回迭代器不方便使用if (mp.count(1)) cout << "1" << endl;if (mp.count(5)) cout << "5" << endl;//lower_bound:大于等于变量的最小元素，返回迭代器//upper_bound:大于变量的最小元素，返回迭代器//时间复杂度都为O(log N)auto x = mp.lower_bound(1);auto y = mp.upper_bound(1);cout << *x << " " << *y << endl;return;
}int main()
{test();return 0;
}

4.2 map/multimap

map 和 multimap 的区别：map 不能存相同的元素，multimap 可以存相同的元素，其他的使用方法完全一致

map 和 set 的区别：set 里存储一个单独的关键字；而 map 里面存一个 pair<key,value>(k-v模型），除了一个关键字，还有一个和关键字绑定的值，但比较是以 key 进行的

比如：<int,int>,可以统计数字出现的次数

          <string,int>可以统计字符串出现的次数

#include<iostream>
using namespace std;
#include<map>void print(map<string, int>& mp)
{//begin/end:返回迭代器，可以用范围for遍历整个 mapfor (auto& p : mp){cout << p.first << " " << p.second << endl;}
}void test()
{map<string, int> mp;//insert:插入元素，要插入一个pair，时间复杂度O(log N)mp.insert({ "lili",1 });mp.insert({ "kiki",2 });print(mp);//operator[]可以让 map 像数组一样使用cout << mp["lili"] << endl;mp["lili"] = 3;cout << mp["lili"] << endl;//但operator[]可能会向 map 插入意料外的元素//插入时，第一个关键字为[]里内容，第二个关键字为默认值if (mp["wiwi"] == 3) cout << mp["wiwi"] << endl;//可以发现本不想插入wiwi，只是比较一下，但插入进去了print(mp);//erase:删除，时间复杂度O(log N)mp.erase("wiwi");//find:查询一个元素，返回迭代器//count:查询元素出现的次数，可以判断该元素是否在map中//时间复杂度都是O(log N),一般使用count查询元素if (mp.count("wiwi") && mp["wiwi"] == 0) cout << "yes" << endl;print(mp);//size:求map的大小，时间复杂度O(1)//empty:判断map是否为空，时间复杂度O(1)cout << mp.size() << endl;if (!mp.empty()) cout << "非空" << endl;//lower_bound:大于等于传入值的最小元素，返回迭代器//upper_bound:大于传入值的最小元素，返回迭代器//时间复杂度都是O(log N)auto x = mp.lower_bound("kiki");auto y = mp.upper_bound("kiki");cout << (*x).first << " " << (*y).first << endl;}int main()
{test();return 0;
}