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聚类算法

K-means 算法

算法原理

K-means 是一种基于类内距离最小化的划分式聚类算法，其核心思想是通过迭代优化将数据划分为 K 个簇。目标函数为最小化平方误差（SSE）：
$$SSE=\sum _{i=1}^K\sum _{x\in C_i}||x-{\mu }_i|{|}^2$$
其中 ${\mu }_i$ 是第 $i$ 个簇的质心。

算法步骤

1. 初始化：

   • 随机选择 K 个初始质心（或使用 k-means++ 优化初始化）

2. 迭代优化：

   • 分配阶段：将每个样本分配到距离最近的质心所属簇
     C i = { x : ∣ ∣ x − μ i ∣ ∣ 2 ≤ ∣ ∣ x − μ j ∣ ∣ 2 , ∀ j } C_i = \{ x : ||x - \mu_i||^2 \leq ||x - \mu_j||^2, \forall j \} Ci​={x:∣∣x−μi​∣∣2≤∣∣x−μj​∣∣2,∀j}
   • 更新阶段：重新计算每个簇的质心
     $${\mu }_i=\frac{1}{|C_i|}\sum _{x\in C_i}x$$

3. 终止条件：

   • 质心位置不再变化（收敛）
   • 达到最大迭代次数
   • SSE 变化量小于阈值

特点

• 时间复杂度：$O(n\ast K\ast I\ast d)$，n 为样本数，I 为迭代次数
• 需预先指定 K 值
• 对初始质心敏感，可能收敛到局部最优

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DBSCAN 算法

算法原理

DBSCAN（Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise）是一种基于密度可达性的聚类算法，由Ester等人在1996年提出，其核心思想是通过数据点的局部密度分布识别聚类结构，并有效处理噪声。算法中的关键概念包括：

1. 核心点：以某点为中心、半径ε邻域内的点数≥MinPts的点，是簇形成的基础。
2. 边界点：位于核心点的ε邻域内，但自身邻域内点数＜MinPts的点。
3. 噪声点：既非核心点也非边界点的孤立点。
4. 密度可达性：若点A通过一系列核心点间接可达点B，则称A与B密度可达。
5. 密度连通性：若存在核心点O，使得点A和B均密度可达于O，则A与B密度连通。

算法步骤

1. 初始化参数：设置邻域半径ε和最小密度阈值MinPts。
2. 遍历未访问点：随机选择一个未访问点，计算其ε邻域内的点数：
   • 若点数＜MinPts：标记为噪声点（可能后续被重新归类为边界点）。
   • 若点数≥MinPts：标记为核心点，创建新簇，递归合并所有密度可达点。
3. 扩展聚类：通过核心点的邻域不断吸收边界点和可达核心点，直至无法扩展。
4. 重复处理：遍历所有未访问点，直至数据集处理完毕。

特性

• 时间复杂度：O(n log n)（使用空间索引时）
• 可发现任意形状的簇
• 自动识别噪声点
• 对参数敏感

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聚类评估指标

1. 轮廓系数 (Silhouette Coefficient)

综合衡量样本的簇内紧密度和簇间分离度：
s ( i ) = b ( i ) − a ( i ) max ⁡ { a ( i ) , b ( i ) } s(i) = \frac{b(i) - a(i)}{\max\{a(i), b(i)\}} s(i)=max{a(i),b(i)}b(i)−a(i)​

• $a(i)$：样本 i 到同簇其他点的平均距离
• $b(i)$：样本 i 到最近其他簇的平均距离
• 取值范围：[-1, 1]，值越大聚类质量越高

2. Calinski-Harabasz 指数

通过方差比评估聚类质量：
$$CH=\frac{tr(B_k)/(K-1)}{tr(W_k)/(n-K)}$$

• $B_k$：簇间协方差矩阵
• $W_k$：簇内协方差矩阵
• 值越大表示簇间差异越大，簇内越紧密

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K-means 的 K 值选择方法详解

肘部法则 (Elbow Method)

计算不同 K 值对应的 SSE：

sse = []
for k in range(1, 11):kmeans = KMeans(n_clusters=k)kmeans.fit(data)sse.append(kmeans.inertia_)