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本文涉及知识点

C++差分数组
C++图论

[COCI2019-2020#5] Putovanje

题目描述

给你一棵有 $n$ 个点的树，节点编号从 $1$ 到 $n$。

你会按编号从小到大顺序访问每个节点。

经过树上的边需要收费。第 $i$ 条边有单程票（只能用一次）价格 $c_{i1}$ 和多程票（珂以用无限次）价格 $c_{i2}$。你在访问途中可能会重复走一条边，所以多程票有时更划算。

请你求出从 $1$ 访问到 $n$ 最少需要多少费用。

输入格式

• 第一行：一个正整数 $n$。

• 接下来的 $n-1$ 行描述 $n-1$ 条边：有 $4$ 个正整数 $a_i,b_i,c_{i1},c_{i2}$，表示有一条连接 $a_i$ 和 $b_i$ 的单程票价格为 $c_{i1}$、多程票价格为 $c_{i2}$ 的边。

输出格式

一行一个正整数：你的答案。

样例 #1

样例输入 #1

4
1 2 3 5
1 3 2 4
2 4 1 3

样例输出 #1

10

样例 #2

样例输入 #2

4
1 4 5 5
3 4 4 7
2 4 2 6

样例输出 #2

16

样例 #3

样例输入 #3

5
1 2 2 3
1 3 2 3
1 4 2 3
1 5 2 3

样例输出 #3

11

提示

样例#1 解释

• $1\to 2$：多程票，费用 $5$。
• $2\to 1\to 3$：$2\to 1$ 使用买过的多程票，无费用；$1\to 3$ 单程票，费用 $2$。
• $3\to 1\to 2\to 4$：$3\to 1$ 单程票，费用 $2$；$1\to 2$ 使用买过的多程票，无费用；$2\to 4$ 单程票，费用 $1$。
• 费用共 $5+2+2+1=10$。

数据范围

本题捆绑测试。

• 对于 $20pts$ 的数据，$2\le n\le 2000$。

• 对于另外 $25pts$ 的数据，每个城镇最多与另外两个城镇直接相连。

• 对于所有的数据，$2\le n\le 200000$，$1\le a_i,b_i\le n$，$1\le c_{i1}\le c_{i2}\le 100000$。

说明

题目译自 COCI2019-2020 CONTEST #5 T4 Putovanje。

树上差分数组 树上倍增

节点编号从1改成0，以0为根，各边指向父节点。
如果a,b的公共祖先是c，a到b的简单路径是：$a\to c\to b$。利用树上倍增求公共祖先。
差分数组vDiff，vDiff[a]++,vDiff[b]++,vDiff[c]-=2。
层次从大到小处理各节点cur
d[cur] += vDiff[cur] d[par] += d[cur]
数组d记录各边经过的次数。

代码

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>#include <bitset>
using namespace std;template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {in >> pr.first >> pr.second;return in;
}template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);return in;
}template<class T = int>
vector<T> Read() {int n;scanf("%d", &n);vector<T> ret(n);for(int i=0;i < n ;i++) {cin >> ret[i];}return ret;
}template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> ret[i];}return ret;
}template<class T1,class T2>
void ReadTo(pair<T1, T2>& pr) {cin >> pr.first >> pr.second;
}class CBFSLeve {
public:static vector<int> Leve(const vector<vector<int>>& neiBo, vector<int> start) {vector<int> leves(neiBo.size(), -1);for (const auto& s : start) {leves[s] = 0;}for (int i = 0; i < start.size(); i++) {for (const auto& next : neiBo[start[i]]) {if (-1 != leves[next]) { continue; }leves[next] = leves[start[i]] + 1;start.emplace_back(next);}}return leves;}template<class NextFun>static vector<int> Leve(int N, NextFun nextFun, vector<int> start) {vector<int> leves(N, -1);for (const auto& s : start) {leves[s] = 0;}for (int i = 0; i < start.size(); i++) {auto nexts = nextFun(start[i]);for (const auto& next : nexts) {if (-1 != leves[next]) { continue; }leves[next] = leves[start[i]] + 1;start.emplace_back(next);}}return leves;}static vector<vector<int>> LeveNodes(const vector<int>& leves) {const int iMaxLeve = *max_element(leves.begin(), leves.end());vector<vector<int>> ret(iMaxLeve + 1);for (int i = 0; i < leves.size(); i++) {ret[leves[i]].emplace_back(i);}return ret;};
};class CParents
{
public:CParents(vector<int>& vParent, const int iMaxDepth){int iBitNum = 0;for (; (1 << iBitNum) < iMaxDepth; iBitNum++);const int n = vParent.size();m_vParents.assign(iBitNum + 1, vector<int>(n, -1));m_vParents[0] = vParent;//树上倍增for (int i = 1; i < m_vParents.size(); i++){for (int j = 0; j < n; j++){const int iPre = m_vParents[i - 1][j];if (-1 != iPre){m_vParents[i][j] = m_vParents[i - 1][iPre];}}}}int GetParent(int iNode, int iDepth)const{int iParent = iNode;for (int iBit = 0; iBit < m_vParents.size(); iBit++){if (-1 == iParent){return iParent;}if (iDepth & (1 << iBit)){iParent = m_vParents[iBit][iParent];}}return iParent;}
protected:vector<vector<int>> m_vParents;
};class C2Parents : public CParents
{
public:C2Parents(vector<int>& vParent, const vector<int>& vDepth) :m_vDepth(vDepth), CParents(vParent, *std::max_element(vDepth.begin(), vDepth.end())){}int GetPublicParent(int iNode1, int iNode2)const{int leve0 = m_vDepth[iNode1];int leve1 = m_vDepth[iNode2];if (leve0 < leve1){iNode2 = GetParent(iNode2, leve1 - leve0);leve1 = leve0;}else{iNode1 = GetParent(iNode1, leve0 - leve1);leve0 = leve1;}//二分查找int left = -1, r = leve0;while (r - left > 1){const auto mid = left + (r - left) / 2;const int iParent0 = GetParent(iNode1, mid);const int iParent1 = GetParent(iNode2, mid);if (iParent0 == iParent1){r = mid;}else{left = mid;}}return GetParent(iNode1, r);}
protected:vector<vector<int>> m_vParents;const vector<int> m_vDepth;
};class Solution {
public:long long Ans(vector<tuple<int, int, int, int>> edges) {const int N = edges.size() + 1;vector<vector<int>> neiBo(N);for (auto& [i, j, c, d] : edges) {i--, j--;neiBo[i].emplace_back(j);neiBo[j].emplace_back(i);}auto leves = CBFSLeve::Leve(neiBo, { 0 });vector<int> par(N, -1);vector<int> e(N), f(N);for (auto [i, j, c, d] : edges) {if (leves[i] < leves[j]) { swap(i, j); };par[i] = j;e[i] = c;f[i] = d;}C2Parents par2(par, leves);vector<int> diff(N);for (int i = 0; i + 1 < N; i++) {const int c = par2.GetPublicParent(i, i + 1);diff[i]++;diff[i + 1]++;diff[c] -= 2;}auto leveNodes = CBFSLeve::LeveNodes(leves);vector<int> d(N);for (int i = leveNodes.size() - 1; i >= 1; i--) {for (const auto& cur : leveNodes[i]) {d[cur] += diff[cur];d[par[cur]] += d[cur];}}long long ans = 0;for (int i = 1; i < N; i++) {ans += min((long long)e[i] * d[i], (long long)f[i]);}return ans;}
};int main() {
#ifdef _DEBUGfreopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG	int n;cin >> n;auto edge = Read<tuple<int, int, int, int>>(n - 1);
#ifdef _DEBUG	//Out(edge, "edge=");
#endif	auto res = Solution().Ans(edge);cout << res << std::endl;return 0;
}

单元测试

	vector<tuple<int, int, int, int>> edge;TEST_METHOD(TestMethod11){edge = { {1,2,3,5},{1,3,2,4},{2,4,1,3} };auto res = Solution().Ans(edge);AssertEx(10LL, res);}TEST_METHOD(TestMethod12){edge = { {1,4,5,5},{3,4,4,7},{2,4,2,6} };auto res = Solution().Ans(edge);AssertEx(16LL, res);}TEST_METHOD(TestMethod13){edge = { {1,2,2,3},{1,3,2,3},{1,4,2,3},{1,5,2,3} };auto res = Solution().Ans(edge);AssertEx(11LL, res);}

扩展阅读

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测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。