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学习笔记(36):用概率密度方式来了解：正态分布拟合曲线

一、用概率密度方式来了解：正态分布拟合曲线

用 “货架和水” 的例子，逐行拆解这段代码的逻辑，保证你能秒懂～

先明确代码要做什么

这段代码在画一条 “理论上的房价分布曲线”（假设房价符合正态分布），并让这条曲线和实际数据的直方图对齐。关键是理解公式 stats.norm.pdf(x, mu, sigma) * len(data) * (x.max() - x.min())/100 的含义。

用 “货架和水” 类比代码中的变量

假设我们有 1000 套房子（总样本量），房价范围是 100-600 万。我们想画一条正态分布曲线，看看 “理论上” 房价应该怎么分布。这就像：

• 总样本量 len(data) → 货架上总共有 200 瓶水（前面例子）。
• 房价范围 x → 货架总长度 10 米（0-10 米）。
• 正态分布的概率密度 stats.norm.pdf(x, mu, sigma) → 货架上每米的 “水占比密度”（比如 A 区每米占总水量的 15%，即 0.15 概率 / 米）。

逐行拆解代码

# 1. 拟合正态分布参数（类比：计算货架上的平均水量和波动）
mu, sigma = stats.norm.fit(data[price_col])# 2. 生成100个均匀分布的房价点（覆盖整个房价范围）
# 类比：把10米货架分成100个小区间，每个区间宽0.1米
x = np.linspace(data[price_col].min(), data[price_col].max(), 100)# 3. 绘制正态分布曲线（重点！）
plt.plot(x, stats.norm.pdf(x, mu, sigma) * len(data) * (x.max() - x.min()) / 100,'r--', linewidth=2, label=f'正态分布拟合: μ={mu:.2f}, σ={sigma:.2f}')

核心公式解析：stats.norm.pdf(x, mu, sigma) * len(data) * (x.max() - x.min()) / 100

这个公式其实是三部分的乘积，对应到 “货架和水” 的例子：

1. stats.norm.pdf(x, mu, sigma)
   → 这是正态分布的概率密度函数，表示 “在房价为 x 时的理论密度”（单位：概率 / 万元）。
   → 类比货架：A 区每米的 “水占比密度” 是 0.15 概率 / 米（即每米占总水量的 15%）。

2. len(data)
   → 总样本量（比如 1000 套房子），用于把 “概率” 转化为 “实际数量”。
   → 类比货架：总水量 200 瓶，15% 的占比对应 200×15%=30 瓶。

3. (x.max() - x.min()) / 100
   → 这是区间宽度！
   → x 是从房价最小值到最大值的 100 个点，所以相邻两点的距离 = (600 万 - 100 万)/100 = 5 万（每个区间宽 5 万）。
   → 类比货架：把 10 米分成 100 段，每段宽 0.1 米。

举个具体例子：算房价 300 万处的曲线高度

假设：

• 总样本量 = 1000 套房子
• 房价范围 = 100-600 万，区间宽度 = 5 万（500 万 / 100）
• 正态分布在 x=300 万处的密度 = 0.0006 概率 / 万元（即每万元价格的概率是 0.0006）

那么，在 x=300 万这个点上，曲线的高度（理论频数）是：

理论频数 = 概率密度 × 区间宽度 × 总样本量  
= 0.0006/万元 × 5万 × 1000  
= 3 套  

→ 这意味着：理论上，300 万左右（±2.5 万范围内）的房子应该有 3 套。

为什么要这样算？

因为直方图的高度是 “实际频数”（比如 300 万左右实际有 4 套房子），而正态分布直接算出来的是 “概率密度”。通过乘以 “区间宽度” 和 “总样本量”，我们把 “理论概率” 转化成了 “理论频数”，让曲线和直方图能在同一尺度上比较！

一句话总结

这段代码的核心就是：
用正态分布算出 “每个房价区间的理论概率”，再乘以 “区间宽度” 和 “总样本量”，得到 “理论上该区间应该有多少套房”，最后画出曲线和实际数据对比。

如果不做这个转换，正态分布曲线会因为 “概率密度值太小” 而几乎贴在 x 轴上，根本看不到！

二、理论频数 = 概率密度 × 区间宽度 × 总样本量公式的来源

这个公式 理论频数 = 概率密度 × 区间宽度 × 总样本量，是从概率密度的定义和 “频数与概率的关系” 推导来的，对应代码中最核心的绘图公式：

stats.norm.pdf(x, mu, sigma) * len(data) * (x.max() - x.min()) / 100

我们一步步拆解推导逻辑：

步骤 1：从概率密度到区间概率

根据概率密度的定义：
某区间的概率 = 概率密度 × 区间宽度

用货架和水的例子：

• 概率密度 = 每米的水占比（比如 0.15 概率 / 米）
• 区间宽度 = 0.1 米（把 10 米货架分成 100 段，每段宽 0.1 米）
• 区间概率 = 0.15 × 0.1 = 0.015（即该 0.1 米区间的水占总水量的 1.5%）

步骤 2：从区间概率到理论频数

频数（即某个区间内的实际数量）与概率的关系是：
理论频数 = 总样本量 × 区间概率

继续用例子：

• 总样本量 = 200 瓶水（货架上的总水量）
• 区间概率 = 0.015（该区间的水占比）
• 理论频数 = 200 × 0.015 = 3 瓶（即该 0.1 米区间理论上应有 3 瓶水）

步骤 3：合并公式

把 “区间概率 = 概率密度 × 区间宽度” 代入 “理论频数 = 总样本量 × 区间概率”，得到：
理论频数 = 概率密度 × 区间宽度 × 总样本量

对应到代码中的变量

• stats.norm.pdf(x, mu, sigma) → 概率密度（每单位价格的概率）
• (x.max() - x.min()) / 100 → 区间宽度（把房价范围分成 100 段，每段的宽度）
• len(data) → 总样本量（所有房子的数量）

三者相乘，就是代码中计算 “理论频数” 的公式，目的是让正态分布曲线的高度与直方图的 “实际频数” 在同一尺度上可比。

一句话总结

代码中的绘图公式，本质是用 “概率密度→区间概率→理论频数” 的逻辑，把抽象的概率密度转化为可与实际数据对比的 “理论上应该出现的数量”，而推导的核心就是概率密度的定义（概率 = 密度 × 宽度）和频数与概率的换算关系（频数 = 总样本量 × 概率）。