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实偶函数滤波器

当滤波器是实偶函数时，其滤波结果的相位在通带内为 0 或 $\pi$，正频率和负频率成分的相位相同。这种相位特性使得实偶函数滤波器在低通滤波、平滑处理等需要保持信号相位不失真的应用中非常有用。

• 实偶函数特性：
  • 滤波器的冲激响应 $h(t)$ 是实数且偶对称，即 $h(t)=h(-t)$。
• 傅里叶变换：
  • 实偶函数的傅里叶变换 $H(\omega )$ 也是实数且偶对称。
  • 这意味着 $H(\omega )$ 的虚部为零，只有实部存在。
• 相位响应：
  • 由于 $H(\omega )$ 是实数，其相位响应 $\varphi (\omega )$ 为：
    $$\varphi (\omega )=\{\begin{array}{ll}0& \text{if }H(\omega )>0\\ \pi & \text{if }H(\omega )<0\end{array}$$
  • 在 $H(\omega )=0$ 的点处，相位响应可能不连续，出现 $\pi$ 的跳变。

结果解释

• 相位变化：
  • 对于正频率成分和负频率成分，相位相同，均为 0 或 $\pi$。
  • 在滤波器通带内，如果 $H(\omega )$ 为正，则相位为 0；如果 $H(\omega )$ 为负，则相位为 $\pi$。
• 群延迟：
  • 实偶函数的群延迟在通带内通常为常数或近似常数。
  • 这意味着信号通过滤波器后，不同频率成分的时延基本一致，避免了信号的失真。

应用

• 低通滤波：
  • 实偶函数滤波器常用于设计低通滤波器，其相位响应在通带内保持为 0，确保信号的相位不失真。
• 平滑处理：
  • 在图像处理中，实偶函数滤波器可用于平滑图像，去除噪声，同时保持图像的边缘和细节。

实奇函数滤波器

当滤波器是实奇函数时，其滤波结果的相位在通带内为 $\pm 90^{\circ }$，正频率和负频率成分的相位相反。这种相位特性使得实奇函数滤波器在高通滤波、边缘检测等需要强调信号高频成分的应用中非常有用。

• 实奇函数特性：
  • 滤波器的冲激响应 $h(t)$ 是实数且奇对称，即 $h(t)=-h(-t)$。
• 傅里叶变换：
  • 实奇函数的傅里叶变换 $H(\omega )$ 是纯虚数且奇对称。
  • 这意味着 $H(\omega )$ 的实部为零，只有虚部存在。
• 相位响应：
  • 由于 $H(\omega )$ 是纯虚数，其相位响应 $\varphi (\omega )$ 为：
    $$\varphi (\omega )=\{\begin{array}{ll}-\frac{\pi }{2}& \text{if }H(\omega )>0\\ \frac{\pi }{2}& \text{if }H(\omega )<0\end{array}$$
  • 在 $H(\omega )=0$ 的点处，相位响应可能不连续，出现 $\pi$ 的跳变。

结果解释

• 相位变化：
  • 对于正频率成分和负频率成分，相位相反。
  • 在滤波器通带内，如果 $H(\omega )$ 为正，则相位为 $-\frac{\pi }{2}$；如果 $H(\omega )$ 为负，则相位为 $\frac{\pi }{2}$。
• 群延迟：
  • 实奇函数的群延迟在通带内可能不是常数，这可能导致信号通过滤波器后产生不同程度的时延。

应用

• 高通滤波：
  • 实奇函数滤波器常用于设计高通滤波器，其相位响应在通带内产生 $\pm 90^{\circ }$ 的相移，有助于突出高频成分。通过 90° 相移增强高频成分。
• 边缘检测：
  • 在图像处理中，实奇函数滤波器对信号的高频变化敏感，常用于图像处理中的边缘检测。

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比较

特性	实偶函数滤波器（零相位）	实奇函数滤波器
冲激响应对称性	$h(t)=h(-t)$（偶对称）	$h(t)=-h(-t)$（奇对称）
频域响应	实数且偶对称	纯虚数且奇对称
相位响应	$\varphi (\omega )=0$ 或 $\pi$（偶对称）	$\varphi (\omega )=\pm \frac{\pi }{2}$（奇对称）
是否为零相位滤波器	是（相位为 0 或 $\pi$）	否（相位为 $\pm \frac{\pi }{2}$）

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Sobel、Prewitt都是实奇函数滤波器，不是零相位滤波器

实奇函数滤波器的相位响应为 $\pm 90^{\circ }$，而非零相位。因此，它不是零相位滤波器，但其相位特性在需要特定相移（如微分或高通滤波）的应用中非常有用。

1. 零相位滤波器的定义：

   • 零相位滤波器的相位响应 $\varphi (\omega )$ 在整个频带上为 0（或 $\pi$ 的整数倍，但严格意义下需为 0）。
   • 这意味着信号通过滤波器后，所有频率成分的相位均未发生改变（或仅发生 $\pi$ 的翻转，但通常视为无相位畸变）。
   • 零相位滤波器的冲激响应必须是实偶函数（即 $h(t)=h(-t)$）。

2. 实奇函数滤波器的特性：

   • 冲激响应满足 $h(t)=-h(-t)$（奇对称且实数）。
   • 其频域响应 $H(\omega )$ 是纯虚数且奇对称（即 $H(-\omega )=-H(\omega )$）。

实奇函数滤波器的相位响应

1. 频域表达式：

   • 实奇函数的傅里叶变换 $H(\omega )$ 是纯虚数，可表示为：
     H ( ω ) = j ⋅ Im { H ( ω ) } H(\omega) = j \cdot \text{Im}\{H(\omega)\} H(ω)=j⋅Im{H(ω)}
   • 因此，相位响应 $\varphi (\omega )$ 由虚部的符号决定：
     ϕ ( ω ) = arctan ⁡ ( Im { H ( ω ) } Re { H ( ω ) } ) = arctan ⁡ ( Im { H ( ω ) } 0 ) \phi(\omega) = \arctan\left(\frac{\text{Im}\{H(\omega)\}}{\text{Re}\{H(\omega)\}}\right) = \arctan\left(\frac{\text{Im}\{H(\omega)\}}{0}\right) ϕ(ω)=arctan(Re{H(ω)}Im{H(ω)}​)=arctan(0Im{H(ω)}​)
     • 当 Im { H ( ω ) } > 0 \text{Im}\{H(\omega)\} > 0 Im{H(ω)}>0 时，$\varphi (\omega )=+\frac{\pi }{2}$；
     • 当 Im { H ( ω ) } < 0 \text{Im}\{H(\omega)\} < 0 Im{H(ω)}<0 时，$\varphi (\omega )=-\frac{\pi }{2}$。

2. 相位特性：

   • 相位响应 $\varphi (\omega )$ 是 奇函数（即 $\varphi (-\omega )=-\varphi (\omega )$）。
   • 对于正频率 $\omega$，相位为 $\pm \frac{\pi }{2}$；对于负频率 $-\omega$，相位为 $\mp \frac{\pi }{2}$。
   • 相位不为零，而是始终为 $\pm 90^{\circ }$ 的相移。

结论

• 原因：
  1. 零相位滤波器要求相位响应为 0，而实奇函数的相位响应为 $\pm \frac{\pi }{2}$，显然不满足零相位条件。
  2. 实奇函数的相位响应是 90° 相移，属于 线性相位 的一种特殊情况（常数相位偏移），但严格来说，零相位要求相位为 0，因此不成立。