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摘要—在本文中，我们提出一种扩展嵌套阵列（extended nested array，ENA）策略，该策略放宽了对增广嵌套阵列两侧子阵列的约束，并允许传感器被放置在离稀疏均匀线性阵列更远的位置。为了保证差分共阵列（DCA）的连续性，我们为具体设计提供了若干条件。基于这些规则，我们开发了两种ENA，分别称为单边扩展嵌套阵列（one-side extended nested array，OS-ENA）和双边扩展嵌套阵列（two side extended nested array，TS-ENA）。OS-ENA和TS-ENA的差分共阵列都是无孔的，并且比现有的类嵌套阵列拥有更多的连续自由度。使用空间平滑MUSIC算法进行的仿真验证了所提出的ENA的优越性。

索引词—自由度，DOA估计，稀疏嵌套阵列。

III. EXTENDED NESTED ARRAYS

A. Extended Nested Array Strategy

在本小节中，我们将首先回顾[12]中提到的增广嵌套阵列（ANA）概念，然后在此基础上介绍我们的扩展嵌套阵列策略。

正如[12]所述，嵌套阵列的差分共阵列（DCA）中的虚拟阵元可由下式表征

$$v=(N_1+1)l_1+l_2\text{\hspace{1em}(4)}$$

其中 $l_1\in [0,N_2]$ 且 $l_2\in [0,N_1]$。将 $v$ 重写为 $v=((N_1+1)N_2+l_2)-(N_1+1)l_3$，其中 $l_3=N_2-l_1$。那么，位于左侧子阵列位置 $(N_1+1)-l_2$ 处的传感器可以被移动到右侧的位置$(N_1+1)N_2+l_2$处。将$[0,N_1]$划分为两个子集 ${\mathbb{R}}_{11}$ 和 ${\mathbb{R}}_{12}$，并将它们放置在中间子阵列的两侧，得到的两级ANA配置（ANAI-1和ANAI-2）可以使自由度（DOF）不小于NA的自由度，其中物理传感器位于如下位置的

$$S=\mathbb{L}\cup \mathbb{M}\cup \mathbb{R}\text{\hspace{1em}(5)}$$

其中 $\mathbb{L}$、$\mathbb{M}$ 和 $\mathbb{R}$ 表示左、中、右子阵列，并具有[12]中给出的形式

$$\{\begin{array}{ll}\mathbb{L}=\left(N_1+1\right)-r,& r\in {\mathbb{R}}_{11},\\ \mathbb{M}=\left(N_1+1\right)r,& r\in \left[1,N_2\right],\\ \mathbb{R}=r+\left(N_1+1\right)\left(N_2+1\right),& r\in {\mathbb{R}}_{12},\end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$

其中 $0\in {\mathbb{R}}_{11}$ 且 $0\in {\mathbb{R}}_{12}$。传感器总数为$N=N_1+N_2+1$。

在先前的研究中，ANAI-1和ANAI-2都是在 ${\mathbb{R}}_{11}\cup {\mathbb{R}}_{12}=[0,N_1]$ 的条件下推导出来的。结果，它们能实现的最大自由度（DOF）将小于$(N_1+1)N_2+2N_1-1$。为了突破这一限制，我们考虑扩充 ${\mathbb{R}}_{11}$ 和 ${\mathbb{R}}_{12}$中的值。将公式(4)中的$v$重写为

$$v=(N_1+1)(l_1-1)+(N_1+1+l_2)\text{\hspace{1em}(7)}$$

其中$l_1\in [1,N_2]$且$l_2\in [0,N_1]$。记$l_4=N_1+1+l_2\in [N_1+1,2N_1+1]$。那么，在范围$[N_1+1,(N_1+1)(N_2+1)-1]$内的差分共阵列（DCA）将保持无孔。这意味着一个大的余数$l_4$与一个小的商$l_1-1$相结合可以用来产生相同的虚拟阵元$v$。与$l_2$相比，$l_4$要大$N_1+1$。因此，只要中间子阵列中的$l_1-1$个传感器被用于虚拟阵列构建，两侧子阵列中的传感器就可以比ANA中放置得远$N_1+1$的距离。

在这种情况下，条件 ${\mathbb{R}}_{11}\cup {\mathbb{R}}_{12}=[0,N_1]$ 便不再适用。为保证连续性，我们提供以下条件来指导具体的ENA设计。

定理1： 考虑由公式(5)和(6)定义的稀疏阵列。如果 1) $D_{R_{11}}^{+}\cup D_{R_{12}}^{+}\supseteq [0,N_1]$，2) $\mathbb{R}[R_{11}\cup R_{12}{]}_{N_1+1}=[0,N_1]$ 且 3) $R_{11}\oplus R_{12}\supseteq [N_1+1,{\tilde{L}}_u]$，其中${\tilde{L}}_u$是一个大于$N_1+1$的常数，那么正虚拟阵列$D_S^{+}$在范围$[0,(N_1+1)N_2+{\tilde{L}}_u]$内是连续的。

证明在附录A中提供。此处，DA+={p1−p2∣p1,p2∈A,p1≥p2}D_A^+=\{p_1-p_2|p_1,p_2 \in A, p_1 \ge p_2\}DA+​={p1​−p2​∣p1​,p2​∈A,p1​≥p2​}；$\mathbb{R}[N{]}_m$是{n/m∣n∈N}\{n/m | n \in N\}{n/m∣n∈N}的余数；A⊕B={a+b∣a∈A,b∈B}A \oplus B = \{a+b | a \in A, b \in B\}A⊕B={a+b∣a∈A,b∈B}。定理1放宽了对$R_{11}$和$R_{12}$的约束。它允许两侧的传感器分布得更为稀疏。通过合理设计$R_{11}$和$R_{12}$，ENA将能实现更高的自由度。

C. TS-ENA

定义2 (双边扩展嵌套阵列, TS-ENA):
对于正整数 $N_1=2l,l\ge 5$ 和 $N_2\ge 1$，双边扩展嵌套阵列由公式(5)和公式(6)定义，其中
{R11={0,l,2l,2l+3,…,3l}R12={0,l+1,2l+2,3l+3,…,4l}(9)\begin{cases} \mathbb R_{11} = \{0, l, 2l, 2l+3, \dots, 3l\} \\ \mathbb R_{12} = \{0, l+1, 2l+2, 3l+3, \dots, 4l\} \end{cases} \tag{9} {R11​={0,l,2l,2l+3,…,3l}R12​={0,l+1,2l+2,3l+3,…,4l}​(9)

性质2: 由公式(9)定义的TS-ENA的差分共阵列（DCA）是无孔的。其自由度（DOF）可以表示为$L_u=(N_1+1)N_2+3.5N_1$。

性质2的证明在附录C中提供。

如图2所示，与OS-ENA不同，TS-ENA同时扩展了左侧和右侧的子阵列。当L和R中的大多数传感器被放置在距离M为$N_1+1+l_2$的位置时，自由度可以被进一步增加。正是物理孔径的增加导致了自由度的增强。

对于给定的阵元数 $N$，最大自由度可以通过设置最优参数 $N_1=2\lfloor (N+3)/4\rfloor$ 和 $N_2=N-N_1-1$ 来获得。

定义一个阵列的权重函数 $w(l^{\prime })$ 为产生共阵列指数 $l^{\prime }$ 的传感器对的数量。根据OS-ENA和TS-ENA的定义，其互耦 $w(1)=N_1-6$ 远强于MISC阵列[28]。然而，OS-ENA的 $w(2)=N_1-7(N_1\ge 13)$ 或TS-ENA的 $w(2)=N_1-8$ 均小于MISC的对应值。基于这两种新结构的自由度均高于其他类嵌套阵列（NLA）这一事实，当互耦不是太强时，其DOA估计性能会更好。