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wzjs 2025/8/9 9:16:50
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一、实验目的

1、理解时域采样理论与频域采样理论；
2、掌握模拟信号采样前后频谱的变化，以及如何选择采样频率才能使采样后的信号
不丢失信息；
3、掌握频率域采样会引起时域周期化的原因，频率域采样定理及其对频域采样点数
选择的指导作用；
4、对信号在某个表示域进行采样，会导致在另一个域周期化，科学的结论是建立在
对问题的仔细分析和实事求是的基础上得到的

二、实验原理

三、实验程序及结果分析

第一题：

结果：

代码： 

%% 参数初始化
A = 444.128;
alpha = 50 * sqrt(2)*pi;
Omega_0 = 50 * sqrt(2)*pi;
Tp = 0.064;         % 观测时间 64 ms%% ------------------ Fs = 1000 Hz ------------------
Fs1 = 1000;
T1 = 1 / Fs1;
N1 = ceil(Tp * Fs1);
n1 = 0:N1-1;
x_n1 = A * exp(-alpha * n1 * T1) .* sin(Omega_0 * n1 * T1);% 计算 FFT 并获取频谱特性
X_k1 = T1 * fft(x_n1, N1);
f1 = (0:N1-1) * (Fs1 / N1);% 绘制时域采样信号
subplot(3, 2, 1);
stem(n1, x_n1, '.');
axis([0, N1, -100, 200]);
title('(a) Fs=1000Hz');
xlabel('n');
ylabel('x_a(n)');% 绘制频域幅频特性
subplot(3, 2, 2);
plot(f1, abs(X_k1));
axis([0, Fs1, 0, 1]);
title('(a) T*FT[x_a(nT)], Fs=1000Hz');
xlabel('f(Hz)');
ylabel('幅度');%% ------------------ Fs = 200 Hz ------------------
Fs2 = 200;
T2 = 1 / Fs2;
N2 = ceil(Tp * Fs2);
n2 = 0:N2-1;
x_n2 = A * exp(-alpha * n2 * T2) .* sin(Omega_0 * n2 * T2);% 计算 FFT 并获取频谱特性
X_k2 = T2 * fft(x_n2, N2);
f2 = (0:N2-1) * (Fs2 / N2);% 绘制时域采样信号
subplot(3, 2, 3);
stem(n2, x_n2, '.');
axis([0, N2, -100, 200]);
title('(a) Fs=200Hz');
xlabel('n');
ylabel('x_a(n)');% 绘制频域幅频特性
subplot(3, 2, 4);
plot(f2, abs(X_k2));
axis([0, Fs2, 0, 1]);
title('(a) T*FT[x_a(nT)], Fs=200Hz');
xlabel('f(Hz)');
ylabel('幅度');%% ------------------ Fs = 300 Hz ------------------
Fs3 = 300;
T3 = 1 / Fs3;
N3 = ceil(Tp * Fs3);
n3 = 0:N3-1;
x_n3 = A * exp(-alpha * n3 * T3) .* sin(Omega_0 * n3 * T3);% 计算 FFT 并获取频谱特性
X_k3 = T3 * fft(x_n3, N3);
f3 = (0:N3-1) * (Fs3 / N3);% 绘制时域采样信号
subplot(3, 2, 5);
stem(n3, x_n3, '.');
axis([0, N3, -100, 200]);
title('(a) Fs=300Hz');
xlabel('n');
ylabel('x_a(n)');% 绘制频域幅频特性
subplot(3, 2, 6);
plot(f3, abs(X_k3));
axis([0, Fs3, 0, 1]);
title('(a) T*FT[x_a(nT)], Fs=300Hz');
xlabel('f(Hz)');
ylabel('幅度');

分析：

结果分析：
1. 采样频率高于奈奎斯特频率（1000 Hz）
        根据奈奎斯特采样定理，当采样频率 Fs≥Fmax 时，采样信号的频谱不会出现频谱混叠。信号的 最大频率 Fmax 是信号中最高的频率成分。
        实验现象：
        采样频率为 1000 Hz 时，信号的频谱与原始模拟信号频谱一致。幅频特性中，低频部分保持清 晰，未观察到任何能量的叠加或畸变。
        结论： 高采样频率可以完全捕获信号中的所有频率分量，频谱恢复完整。实验验证了时域采样 理论的正确性，并说明满足奈奎斯特定理的采样频率可避免频谱混叠。
2. 采样频率接近奈奎斯特频率（300 Hz）
        当采样频率 Fs 略高于 2Fmax 时，频谱混叠的风险较低，主频分量可以较好地保留。
        实验现象：        
        主频率分量仍可正确解析。可能在高频部分出现轻微的频谱泄漏现象，但整体幅频特性图较为 清晰，能反映信号主要的频率信息。
        结论： 虽然存在轻微频谱泄漏，但信号的主频分量仍然可识别。这表明当采样频率接近奈奎斯 特频率时，采样信号的频谱仍然可以近似还原原信号的频率特性，符合时域采样理论。
3. 采样频率低于奈奎斯特频率（200 Hz）
        当采样频率 Fs≤2Fmax 时，高频分量折叠到低频区域，导致频谱混叠。这种混叠会使信号无法 正确解析出原始的频谱特性。
        实验现象：
        频谱中观察到高频分量叠加到低频部分，造成显著的频谱失真。原始信号的频谱无法完整恢复。
        结论： 当采样频率低于奈奎斯特频率时，信号频谱发生混叠，丢失高频信息。这验证了时域采 样理论对采样频率的要求：采样频率必须满足 Fs 大于等于 2Fmax 才能避免混叠失真。

第二题：

结果：

代码：

%% 定义信号 x(n)
n = 0:31;x(1:14) = (0:13) + 1;           % 设置 x(n) = n + 1, 当 0 <= n <= 13
x(15:27) = 27 - (14:26);         % 设置 x(n) = 27 - n, 当 14 <= n <= 25
x(28:32) = 0;
X_FT = fft(x,512);
% 计算 32 点 DFT
X_32 = X_FT(1:512/32:end);
% 提取偶数点得到 16 点频谱采样
X_16 = X_32(1:2:end);
% 计算 16 点 IDFT 重建信号
x_16_reconstructed = ifft(X_16, 16);
x_32_reconstructed = ifft(X_32,32);
% 绘制结果
figure(2);%% 原信号 x(n)
subplot(3, 2, 1);
stem(n, x, '.');
title('原始信号 x(n)');
xlabel('n');
ylabel('x(n)');% 原信号的频谱
subplot(3, 2, 2);
k = 0:511; 
plot(k*2/512, abs(X_FT));
title('原信号的频谱');
xlabel('频率');
ylabel('幅度');%% 16 点频谱幅度
subplot(3, 2, 3);
stem(0:15, abs(X_16), '.');
title('16 点频谱幅度 |X_{16}(k)|');
xlabel('k');
ylabel('|X_{16}(k)|');% 16 点 IDFT 重建信号
subplot(3, 2, 4);
stem(0:15, real(x_16_reconstructed), '.');
title('16 点 IDFT 重建信号 x_{16}(n)');
xlabel('n');
ylabel('x_{16}(n)');
xlim([0,31]);%% 32 点频谱幅度
subplot(3, 2, 5);
stem(0:31, abs(X_32), '.');
title('32 点频谱幅度 |X_{32}(k)|');
xlabel('k');
ylabel('|X_{32}(k)|');% 32 点 IDFT 重建信号
subplot(3, 2, 6);
stem(0:31, real(x_32_reconstructed), '.');
title('32 点 IDFT 重建信号 x_{32}(n)');
xlabel('n');
ylabel('x_{32}(n)');

分析：

1.32 点频域采样结果的分析
        实验结果：
        频谱 保持完整，包含所有的频率成分 IDFT 重建的信号与原始信号完全一致
        结论：
        当频域的采样点数 N≥M（信号长度）时，频域采样的频谱能够完整反映信号的所有频率信息。
        IDFT 重建时，自动在时域信号尾部补零，保证了重建信号的准确性。
        此结果验证了频域采样理论在 N≥M 的正确性
2.16 点频域采样结果的分析
        频谱 比 缩短一半，部分高频分量被丢失。 IDFT 重建的信号 长度为 16，且与原始信号 x(n)明显不同
        结论：
  1. 当频域采样点数 N<M 时，频谱截断导致高频信息丢失。
  2. IDFT 重建的时域信号发生混叠，长度也不足以覆盖原信号。
  3. 此结果验证了频域采样理论在 N<M 情况下的失效及失真的具体表现

第三题：

结果：

代码：

% 读取音频文件
[xn, fs] = audioread('motherland.wav');% 截取第 1000 到 2999 共 2000 个采样点
x_segment = xn(1000:2999);% 参数设置
N = 2000;  % 原始数据点数
N_downsampled = 1000;  % 抽取后的数据点数% (1) 分析 2000 采样点的幅度频谱
X_2000 = fft(x_segment, N);     % 对 2000 点数据进行 FFT
f_2000 = (0:N-1) * (fs / N);    % 频率轴
M_2000 = abs(X_2000);           % 幅度谱% 绘制 2000 采样点的幅度频谱
figure(3);
subplot(2, 1, 1);
plot(f_2000, M_2000);
title('2000 采样点的频谱幅度');
xlabel('频率 (Hz)');
ylabel('幅度');
grid on;% (2) 对 2000 个采样点数据每 2 个点抽取 1 点，得到 1000 点数据
x_downsampled = x_segment(1:2:end);% 对抽取后的 1000 点数据进行 FFT
X_1000 = fft(x_downsampled, N_downsampled);
f_1000 = (0:N_downsampled-1) * (fs / 2 / N_downsampled); % 新的频率轴（采样频率减半）
M_1000 = abs(X_1000);            % 幅度谱% 绘制抽取后 1000 采样点的幅度频谱
subplot(2, 1, 2);
plot(f_1000, M_1000);
title('抽取后 1000 采样点的频谱幅度');
xlabel('频率 (Hz)');
ylabel('幅度');
grid on;

思考题：

http://www.dtcms.com/wzjs/277302.html

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