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题解：理想的正方形

题目传送门：P2216 [HAOI2007] 理想的正方形

一、题目描述 + 样例解释

给定一个a×b的整数矩阵，要求从中找出一个n×n的正方形区域，使得该区域内最大值和最小值的差最小。输出这个最小的差值。

样例解释：
输入一个5×4的矩阵，n=2。我们需要找到所有2×2正方形区域中最大最小值差最小的那个。在样例中，最小的差值为1（比如右下角的2×2区域，值为2和1）。

二、题目分析

这是一个典型的二维滑动窗口问题。我们需要高效地计算每个n×n正方形区域的最大值和最小值，然后找出差值最小的那个。

直接暴力计算每个n×n区域的最值时间复杂度为O(abn²)，对于a,b=1000，n=100的情况，这样的复杂度是无法接受的。

三、解题思路 + 算法讲解

采用单调队列优化的二维滑动窗口算法：

1. 行处理：对每一行，使用单调队列分别计算该行中每个长度为n的滑动窗口的最大值和最小值，结果存储在rowmax和rowmin数组中。

2. 列处理：对每一列，在rowmax和rowmin的基础上，再次使用单调队列计算每个长度为n的滑动窗口的最大值和最小值，这样就得到了每个n×n区域的最值。

3. 结果计算：遍历所有n×n区域，计算最大值与最小值的差，找出最小的那个。

这种方法通过两次单调队列处理（先行后列），将时间复杂度从O(abn²)降低到O(a*b)。

四、代码实现

#include <iostream>
using namespace std;const int N = 1010;
int m[N][N], q[N];              // m存储原始矩阵，q为单调队列的数组
int rowmin[N][N], rowmax[N][N]; // 存储每行滑动窗口的最小值和最大值
int colmin[N][N], colmax[N][N]; // 存储每列滑动窗口的最小值和最大值
int a, b, n, ans = 1e9;         // ans初始化为极大值int main()
{cin >> a >> b >> n;// 读取输入矩阵for (int i = 1; i <= a; i++)for (int j = 1; j <= b; j++)cin >> m[i][j];// 处理每一行的滑动窗口最值for (int row = 1; row <= a; row++){// 计算当前行的最大值int hh = 0, tt = 0; // 单调队列头尾指针for (int i = 1; i <= b; i++){// 维护队列，移除超出窗口的元素while (hh < tt && q[hh] + n <= i)hh++;// 保持队列递减，移除尾部较小的元素while (hh < tt && m[row][q[tt - 1]] < m[row][i])tt--;q[tt++] = i;// 当i足够大时，保存当前窗口的最大值if (i >= n)rowmax[row][i - n + 1] = m[row][q[hh]];}// 计算当前行的最小值，逻辑类似最大值hh = 0, tt = 0;for (int i = 1; i <= b; i++){while (hh < tt && q[hh] + n <= i)hh++;// 保持队列递增，移除尾部较大的元素while (hh < tt && m[row][q[tt - 1]] > m[row][i])tt--;q[tt++] = i;if (i >= n)rowmin[row][i - n + 1] = m[row][q[hh]];}}// 处理每一列的滑动窗口最值，基于rowmax和rowmin的结果for (int col = 1; col <= b - n + 1; col++){// 处理当前列的最大值int hh = 0, tt = 0;for (int i = 1; i <= a; i++){while (hh < tt && q[hh] + n <= i)hh++;// 比较的是rowmax中的值while (hh < tt && rowmax[q[tt - 1]][col] < rowmax[i][col])tt--;q[tt++] = i;if (i >= n)colmax[i - n + 1][col] = rowmax[q[hh]][col];}// 处理当前列的最小值hh = 0, tt = 0;for (int i = 1; i <= a; i++){while (hh < tt && q[hh] + n <= i)hh++;// 比较的是rowmin中的值while (hh < tt && rowmin[q[tt - 1]][col] > rowmin[i][col])tt--;q[tt++] = i;if (i >= n)colmin[i - n + 1][col] = rowmin[q[hh]][col];}}// 遍历所有n×n区域，寻找最小差值for (int i = 1; i <= a - n + 1; i++)for (int j = 1; j <= b - n + 1; j++)ans = min(ans, colmax[i][j] - colmin[i][j]);cout << ans;return 0;
}

五、重点细节

1. 单调队列维护：在行处理中，我们维护一个递减队列求最大值，维护一个递增队列求最小值。队列中存储的是下标，通过比较下标和当前元素位置来判断是否移出窗口。

2. 二维处理顺序：先处理每一行的滑动窗口，再处理每一列的滑动窗口。这样两次一维处理就相当于二维处理。

3. 边界条件：注意窗口大小n的限制，只有当i≥n时才记录结果。

六、复杂度分析

• 时间复杂度：O(a*b)。对每行处理两次（最大和最小），每列处理两次，总共4次线性扫描。
• 空间复杂度：O(a*b)。需要存储原始矩阵和中间结果的四个数组。

七、总结

本题通过两次单调队列处理（先行后列）高效地解决了二维滑动窗口的最值问题。这种方法避免了暴力解法的高时间复杂度，是处理此类问题的经典方法。关键在于理解单调队列如何维护窗口内的最值，以及如何将二维问题分解为两个一维问题处理。