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当 length 是 2 的幂次方时，hash % length 和 hash & (length - 1) 确实等价，这是计算机科学中一个巧妙的位运算优化。下面通过 4 个关键点彻底解释这个原理：

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1. 数学本质（核心原理）

当 length = 2ⁿ 时：

• length - 1 的二进制形式是 全1的比特位
  例如：length = 16 (2⁴) → length - 1 = 15 → 二进制 1111

• hash & (length - 1) 相当于 保留hash的低n位，其他位归零
  这本质上就是 hash % length 的余数

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2. 实例演示

假设 length = 8（2³）：

length     = 8 = 00001000
length - 1 = 7 = 00000111  // 低3位全1hash = 21  → 二进制 00010101
21 % 8 = 5
21 & 7 = 00010101 & 00000111---------00000101 = 5  // 结果相同

3. 为什么等价？

• 取模运算：hash % length 求的是 hash 除以 length 的余数

• 位与运算：当 length 是2的幂次方时，length - 1 的二进制形式是 00...011...1（低位全1）
  hash & (length - 1) 相当于：

  • 保留 hash 的低 log₂(length) 位

  • 丢弃高位（正好是 length 的整数倍部分）

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4. 优势对比

运算	性能	适用场景	注意事项
hash % length	较慢	任意length	负数需额外处理(Math.abs)
hash & (length-1)	极快	length必须为2的幂次方	自动处理负数（直接截取低位）

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关键结论

1. 等价条件：仅当 length 是 2 的幂次方时成立

2. 性能差异：位运算比取模快 5-10 倍（CPU指令级优化）

3. HashMap的设计：
   JDK 中 HashMap 强制容量为2的幂次方（通过 tableSizeFor() 方法保证），就是为了使用这个优化技巧

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为什么HashMap要用这个技巧？

1. 极致性能：位运算是CPU原生支持的最快操作之一

2. 避免负数问题：& 运算天然处理负数的hash值（而 % 需要额外处理）

3. 与扩容机制完美配合：
   扩容时只需 newIndex = oldIndex | newCapacity（不需要重新计算hash）

理解这个原理，就掌握了HashMap性能优化的第一个关键设计！