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2025数维杯数学建模A题完整限量论文：空中芭蕾——蹦床运动的力学行为分析 ，先到先得
A题完整论文
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蹦床（ Trampoline ）是一项运动员利用蹦床的反弹，在空中展示技能
技巧的竞技运动，属于体操运动的一种，有“空中芭蕾”之称。在蹦床运
动过程中，运动员的起跳、 腾空和下落等动作都与蹦床的力学行为紧密
相关；同时，蹦床的弹性恢复性能也对运动员的运动表现有着至关重要的
影响。所以，深入分析蹦床的力学行为和弹性恢复性能，不仅有助于优化
运动员的技术动作减少受伤风险，制定科学的训练方法，提升其的竞技水
平；还能为蹦床设备设计提供力学依据，进而促进蹦床运动的全面发展与
推广。
现代蹦床赛事，弹床内共 112 个弹簧，框架长 5.050 米，宽 2.910 米，
高 1.15 米，网长 4.028 米，宽 2.014 米。比赛中，每位参赛队员需在蹦
床中心完成完成 1 套规定动作和 2 套自选动作。
对于蹦床运动，其整个过程可划分为如下三个基本阶段：
下落接触并压缩阶段： 在这个阶段，运动员从空中下落，接触到蹦床
表面，并开始压缩蹦床。在这个过程中，运动员受到向上的弹力和向
下的重力。随着压缩的加深，弹力逐渐增大，直到它等于重力为止。 舒张并脱离阶段： 当弹力等于重力时，运动员的速度达到最大，然后
开始减速。随着运动员继续向下移动，弹力继续增大，直到它超过重
力。这时，运动员开始向上弹起，蹦床也开始舒张。
上升阶段： 在上升阶段，运动员继续向上移动，直到达到最高点。在
这个过程中，运动员只受到重力的作用，因为此时已经脱离了蹦床。
在蹦床过程中，运动员可通过以下方式获得最佳竞技效果：
起跳时机： 运动员在接触蹦床的瞬间，通过腿部力量和身体姿态的调
整，可以在最合适的时机发力，从而获得更大的反弹力。
身体姿态控制： 在空中，运动员通过改变身体的姿态（如伸展或蜷缩）
来调整自己的重心和空气阻力，从而影响反弹的高度和方向。
动作连贯性： 连续的翻腾和转体动作可以帮助运动员维持动量，通过
多次小的反弹累积高度。
利用蹦床特性： 了解并利用蹦床的弹性特性，在接触点和反弹点的选
择上做出调整，以达到最佳的反弹效果
为简化研究，可将运动员看作是多段刚体组成，运动员通过主动蹬伸
力产生初始动能，完成后续动作。
（一）请建立模型，解决如下问题：
1. 比赛中，某身高 1.75 米运动员（其他参数见附表 1 ）按规定完成一个
完整的“前空翻” 动作，请分析运动员在起跳瞬间为完成该动作的发
力方向、大小以及发力与身体姿态的关系，建立相应的模型，并考虑
利用数值模拟的方法对模型合理性进行验证。
2. 分析运动员从蹦床起跳后在空中飞行和落地过程中的受力情况，建立
运动员从起跳到落地的动力学方程，确定运动员落地时的速度和受力
情况；在不考虑运动员重心前提下，进一步讨论如何通过调整起跳高
度和落地姿势来减少落地时的冲击力。
假设运动员在空中达到最高点后开始下落，下落时需考虑下面两个因 素：
①空气阻力对运动员的影响
②落地瞬间蹦床的弹性恢复特性
3. 若多名运动员同时进行蹦床运动，建立包含多人体重和起跳时间等变
量的动力学方程，分析不同条件下蹦床的受力情况和疲劳损伤程度；
考虑多个运动员的体重分布（见附表 1 ）、起跳时序（所有人必须在
出现落地者之前起跳）等因素，给出一种使得蹦床疲劳损伤最小的策
略，并对采用所提出策略前后蹦床的疲劳寿命提升效果进行预测。