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1. 二叉搜索树的概念

二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一颗空树，或者是具有以下性质的二叉树：

1. 若它的左子树不为空，则左子树上的所有结点的值都小于等于根节点的值。

2. 若它的右子树不为空，则右子树上的所有结点的值都大于等于根节点的值。

3. 它的左右子树也分别为二叉搜索树。

4. 二叉搜索树中可以支持插入相等的值，也可以不支持插入相等的值，具体看使用场景定义。

2. 二叉搜索树的性能分析

最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全二叉树)，其高度为：log2 N。

最差情况下，二叉搜索树退化为单支树(或者类似单支)，其高度为：N。

所以综合而言二叉搜索树增删查改时间复杂度为O(N)。

另外需要说明的是，二分查找也可以实现O(log2N)级别的查找效率，但是二分查找有两大缺陷：

1. 需要存储在支持下标随机访问的结构中，并且有序。

2. 插入和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插入和删除数据一般需要挪动数据。

这里也就体现出了平衡二叉搜索树的价值。

3. 二叉搜索树的插入

插入的具体过程如下：

1. 树为空，则直接新增结点，赋值给root指针。

2. 树不空，按二叉搜索树的性质，插入值比当前结点大往右走，插入值比当前结点小往左走，找到空位置，插入新结点。

3. 如果支持插入相等的值，插入值跟当前结点相等的值可以往右走也可以往左走，找到空位置，插入新结点。（要注意的是要保持逻辑一致性，插入相等的值不要一会往右走，一会往左走）。

我给出的示例代码是不支持插入相等的值的。

bool Insert(const T& key)
{if (_root == nullptr){_root = new Node(key);return true;}Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (key > cur->_key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (key < cur->_key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(key);if (key > parent->_key){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}return true;
}

4. 二叉搜索树的查找

1. 从根开始比较，查找x，x比根的值大则往右边走查找，比根的值小则往左边走查找。

2. 最多查找高度次，走到空，还没找到，那么就说明这个值不存在。

3. 如果不支持插入相等的值，找到x即可返回。

4. 如果支持插入相等的值，意味着有多个x存在，一般是要求查找中序的第一个x。如下图，查找3，要找到1的右孩子的那个3返回。

bool Find(const T& x)
{Node* cur = _root;while (cur){if (x > cur->_key){cur = cur->_right;}else if (x < cur->_key){cur = cur->_left;}else{return true;}}return false;
}

5. 二叉搜索树的删除

首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，直接返回false。

如果查找元素存在，则分为以下四种情况分别处理：（假设要删除的结点为N）

1. N的左右孩子均为空。

2. N左孩子为空，右孩子不为空。

3. N右孩子为空，左孩子不为空。

4. N的左右孩子均不为空

对应以上四种情况的解决方案：

1. 把N结点的父亲对应孩子指针指向空，直接删除N结点。（情况1可以当成情况2或者情况3处理，效果是一样的）

2. 把N结点的父亲对应孩子指针指向右孩子，直接删除N结点。

3. 把N结点的父亲对应孩子指针指向左孩子，直接删除N结点。

4. 无法直接删除N结点，因为N的两个孩子无处安放，只能用替换法删除。找N左子树的值最大结点R(最右结点)或者N右子树的值最小结点R(最左结点)替代N，因为这两个结点中任意一个，放到N的位置，都满足二叉搜索树的规则。替代N的意思就是N和R的两个结点的值交换，转而变成删除R结点，R结点符合情况2和情况3，可以直接删除。

bool Erase(const T& key)
{Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (key > cur->_key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (key < cur->_key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{// 开始删除if (cur->_left == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_right;}else{if (cur == parent->_left){parent->_left = cur->_right;}else{parent->_right = cur->_right;}}delete cur;}else if (cur->_right == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_left;}else{if (cur == parent->_left){parent->_left = cur->_left;}else{parent->_right = cur->_left;}}delete cur;}else{// 找右子树的最小节点(最左节点)替代Node* replace_parent = cur;Node* replace = cur->_right;while (replace->_left){replace_parent = replace;replace = replace->_left;}swap(cur->_key, replace->_key);if (replace == replace_parent->_left){replace_parent->_left = replace->_right;}else{replace_parent->_right = replace->_right;}delete replace;}return true;}}return false;
}

6. 完整的实现代码

#include<iostream>using namespace std;template<class T>
struct BinarySearchTreeNode
{T _key;BinarySearchTreeNode<T>* _left;BinarySearchTreeNode<T>* _right;BinarySearchTreeNode(const T& key):_key(key),_left(nullptr),_right(nullptr){ }
};template<class T>
class BSTree
{typedef BinarySearchTreeNode<T> Node;
public:bool Insert(const T& key){if (_root == nullptr){_root = new Node(key);return true;}Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (key > cur->_key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (key < cur->_key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(key);if (key > parent->_key){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}return true;}bool Find(const T& x){Node* cur = _root;while (cur){if (x > cur->_key){cur = cur->_right;}else if (x < cur->_key){cur = cur->_left;}else{return true;}}return false;}bool Erase(const T& key){Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (key > cur->_key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (key < cur->_key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{// 开始删除if (cur->_left == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_right;}else{if (cur == parent->_left){parent->_left = cur->_right;}else{parent->_right = cur->_right;}}delete cur;}else if (cur->_right == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_left;}else{if (cur == parent->_left){parent->_left = cur->_left;}else{parent->_right = cur->_left;}}delete cur;}else{// 找右子树的最小节点(最左节点)替代Node* replace_parent = cur;Node* replace = cur->_right;while (replace->_left){replace_parent = replace;replace = replace->_left;}swap(cur->_key, replace->_key);if (replace == replace_parent->_left){replace_parent->_left = replace->_right;}else{replace_parent->_right = replace->_right;}delete replace;}return true;}}return false;}void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_key << ' ';_InOrder(root->_right);}void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}private:Node* _root = nullptr; 
};int main()
{BSTree<int> tree;int arr[] = { 8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 };for (auto& e : arr){tree.Insert(e);}tree.InOrder();cout << tree.Find(10) << endl;cout << tree.Find(100) << endl;tree.Erase(10);tree.Erase(6);tree.InOrder();return 0;
}