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L1正则化和L2正则化是机器学习中常用的两种正则化方法，用于防止模型过拟合。它们的区别主要体现在数学形式、作用机制和应用效果上。以下是详细对比：

1. 数学定义

• L1正则化（也叫Lasso正则化）：
  在损失函数中加入权重参数的绝对值之和，即 $\lambda \sum |w_i|$。
  公式：
  $Loss=Los{s}_{原始}+\lambda \sum |w_i|$
  其中 $w_i$ 是模型的权重参数，$\lambda$ 是正则化强度的超参数。

• L2正则化（也叫Ridge正则化）：
  在损失函数中加入权重参数的平方和，即 $\lambda \sum w_i^2$。
  公式：
  $Loss=Los{s}_{原始}+\lambda \sum w_i^2$

2. 几何解释

• L1正则化：
  在参数空间中，L1正则化对应一个菱形（或高维的绝对值约束）。优化时，损失函数的最优解倾向于落在菱形的顶点上，导致部分权重被精确地压缩到0，具有稀疏性。

• L2正则化：
  对应一个圆形（或高维球面约束）。优化时，权重倾向于均匀缩小，但不会精确到0，而是变得很小。

3. 作用效果

• L1正则化：

  • 倾向于产生稀疏解，即部分权重变为0。
  • 适合特征选择，因为它可以自动剔除不重要的特征。

• L2正则化：

  • 倾向于让所有权重变小但不为0，保持权重分布更平滑。
  • 更适合处理多重共线性（特征之间高度相关）的情况。

4. 计算复杂度

• L1正则化：
  由于绝对值函数不可导，优化时需要特殊的算法（如次梯度下降或坐标下降法），计算复杂度稍高。

• L2正则化：
  平方项是连续可导的，可以直接用梯度下降等方法优化，计算上更简单。

5. 应用场景

• L1正则化：

  • 当特征数量很多且你怀疑只有少部分特征重要时（如高维数据降维）。
  • 示例：Lasso回归。

• L2正则化：

  • 当所有特征都可能有贡献，但需要控制权重大小以避免过拟合时。
  • 示例：Ridge回归、神经网络中的权重衰减。

6. 组合使用

在实践中，L1和L2正则化可以结合使用，称为Elastic Net，公式为：
$Loss=Los{s}_{原始}+{\lambda }_1\sum |w_i|+{\lambda }_2\sum w_i^2$
这种方法兼具L1的稀疏性和L2的平滑性。

总结

特性	L1正则化	L2正则化
惩罚项	绝对值 $w$	平方 $w^2$
权重结果	稀疏（部分为0）	小但非0
几何形状	菱形	圆形
主要用途	特征选择	权重平滑、防止过拟合
计算难度	稍高	较低

简单来说，L1更像“选择性淘汰”，L2更像“整体削弱”。根据具体任务需求选择合适的正则化方法！

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补充：$L_{21}norm$范数正则化与Elastic Net 的区别

Elastic Net和L21范数正则化是两种不同的正则化方法，它们的主要区别如下：

• 原理不同
  • Elastic Net：结合了L1和L2正则化的特点，在损失函数中同时引入L1范数和L2范数作为正则化项，通过一个混合参数来平衡两者的贡献。其正则化项的表达式为(R(\boldsymbol{w})=\lambda_1|\boldsymbol{w}|_1+\lambda_2|\boldsymbol{w}|_2^2)，其中(\boldsymbol{w})是模型的参数，(\lambda_1)和(\lambda_2)是正则化参数。
  • L21范数正则化：是对矩阵的每一行或每一列的L2范数进行求和，然后将其作为正则化项添加到损失函数中。对于一个矩阵(\boldsymbol{W})，其L21范数正则化项的表达式为(R(\boldsymbol{W})=\sum_{i}|\boldsymbol{w}_i|_2)，其中(\boldsymbol{w}_i)表示矩阵(\boldsymbol{W})的第(i)行或第(i)列。
• 应用场景不同
  • Elastic Net：常用于线性回归、逻辑回归等模型中，当数据存在多个相关特征时，它可以有效地选择出重要的特征，并对模型进行正则化，防止过拟合。
  • L21范数正则化：在一些需要对矩阵结构进行约束的场景中更为常用，如图像处理、信号处理等领域，它可以用于特征选择、矩阵分解等任务。
• 效果不同
  • Elastic Net：由于同时包含L1和L2正则化的特性，它既能够实现特征的稀疏性，又能够对模型的参数进行平滑处理，使得模型具有较好的泛化能力。
  • L21范数正则化：主要作用是促进矩阵的行或列的稀疏性，使得一些行或列的元素趋近于零，从而实现特征选择或矩阵结构的简化。

Elastic Net和L21范数正则化在原理、应用场景和效果等方面都存在一定的区别，在实际应用中，需要根据具体的问题和数据特点选择合适的正则化方法。