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倍增，顾名思义就是翻倍。它能够使线性的处理转化为对数级的处理，极⼤地优化时间复杂度

P1226 【模板】快速幂 - 洛谷

利⽤「⼆进制」以及「倍增」的思想，通过⼀个具体的例⼦说明，⽐如$3^{11}$

• 幂运算的运算法则：$a^{b+c}=a^b\times a^c$
• 通过⼀个数的⼆进制表⽰，可以写成若⼲数相加
  $$11=(1011{)}_2=1\times 2^3+0\times 2^2+1\times 2^1+1\times 2^0$$
• 两者结合：
  $$3^{11}=3^{(1011{)}_2}=3^{1\times 2^3+0\times 2^2+1\times 2^1+1\times 2^0}=3^8\times 3^0\times 3^2\times 3^1$$

如何快速算出$3^1,3^2..3^{{\log }_{2}n}$
其实很简单，从前往后看，后⼀个数是前⼀个数的平⽅
$$3^1=3$$
$$3^2=3^1\times 3^1=9$$
$$3^4=3^2\times 3^2=81$$
$$3^8=3^4\times 3^4=6561$$
只需将11的⼆进制表⽰中1 所对应的幂乘起来即可

如何实现这个算法，以$a^b$为例

• ⼀边提取b 的⼆进制表⽰中的每⼀位
• ⼀边让a = a ∗ a ，不断变成之前的平⽅（倍增的思想）
• 在提取b 的⼆进制表⽰时，如果这⼀位是1 ，就乘上对应位置的权值

取模运算的规则：

1. 在计算过程中，只有加法和乘法时，如果最后要对整个结果取模，取模可以放在任意的位置
2. 在计算过程中，存在减法时，结果可能出现负数，此时如果需要补正，就需要模加模的技巧来补正
3. 在计算过程中，存在除法的时候，过程中取模是会出现错误的，需要求逆元

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;typedef long long LL;
LL a, b, p;LL qpow(LL a, LL b, LL p)
{LL ret = 1;while (b){if (b & 1) ret = ret * a % p;a = a * a % p;b >>= 1;}return ret;
}int main()
{cin >> a >> b >> p;printf("%lld^%lld mod %lld=%lld", a, b, p, qpow(a, b, p));return 0;
}

P10446 64位整数乘法 - 洛谷

跟「快速幂」的思想⼀致，我们通过⼀个具体的例⼦模拟⼀下算法的流程，⽐如3 × 11

• 乘法的分配率：$a\times (b+c)=a\times b+a\times c$ ；
• 通过⼀个数的⼆进制表⽰，可以写成若⼲数相加
  $$11=(1011{)}_2=1\times 2^3+0\times 2^2+1\times 2^1+1\times 2^0$$
• 两者结合：
  $$3\times 11=3\times (1\times 2^3+0\times 2^2+1\times 2^1+1\times 2^0)=3\times 8+3\times 0+3\times 2+3\times 1$$

如何实现这个算法呢，以a × b 为例

• ⼀边提取b 的⼆进制表⽰中的每⼀位；
• ⼀边让a = a + a ，不断变成之前的两倍（倍增的思想）；
• 在提取b 的⼆进制表⽰时，如果这⼀位是1 ，就加上对应位置的权值

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;typedef long long LL;
LL a, b, p;LL qmul(LL a, LL b, LL p)
{LL sum = 0;while (b){if (b & 1) sum = (sum + a) % p;a = (a + a) % p;b >>= 1;        }return sum;
}int main()
{cin >> a >> b >> p;cout << qmul(a, b, p) << endl;return 0;
}