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人工智能基础知识笔记六：方差分析

1、什么是方差分析

**方差分析（Analysis of Variance, ANOVA）**是一种统计方法，用于比较三个或更多组之间的均值差异是否具有统计学意义。其核心思想是通过分析数据中的方差（变异）来源，判断组间差异是否显著大于组内差异。

关键假设

独立性：各组数据相互独立。

正态性：各组数据近似服从正态分布（大样本时影响较小）。

方差齐性：各组方差相等（可通过Levene检验等验证）。

若假设不满足，可使用非参数方法（如Kruskal-Wallis检验）或稳健ANOVA。

1.1、相关概念

试验指标:在试验中要考察的指标，也称为因变量。

因素:影响试验指标的条件，也称为自变量。要分析行业对投诉次数是否有影响，行业就是要检验的因素。

水平:因素所处的状态，即每个自变量的不同取值。

总体:因素的每一个水平可以看作一个总体，例如零售业、旅游业、航空公司、家电制造业可以看作4个总体。

如果试验仅考虑一个因素，则称为单因素试验，否则称为多因素试验。

样本数据:从总体中抽取的样本数据。

方差分析包括单因素方差分析、双因素方差分析和多因素方差分析。

​​​​​​​1.2、方差分析的基本思想

随机误差:某一因素的同一水平(同一个总体)下，样本各观察值之间的差异。例如,同一行业下，不同企业被投诉次数是不同的。这种差异可以看成是随机因素的影响，称为随机误差。

系统误差:某一因素的不同水平(不同总体)下，各观察值之间的差异。例如，不同行业被投诉次数之间的差异。这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也可能是由于行业本身所造成的，后者所形成的误差是由系统性因素造成的，称为系统误差。

方差分析的基本思想:比较样本数据的两类误差(随机误差和系统误差)，以检验总体的均值是否相等。比较的基础是样本数据的方差比。如果样本的系统误差显著地不同于随机误差，则总体分布的均值就是不相等的，反之均值就是相等的。

​​​​​​​​​​​​​​1.3、 方差的比较

针对样本数据方差的比较包括组内方差和组间方差。

组内方差:某一因素的同一水平(同一个总体)下样本数据的方差，例如，零售业被投诉次数的方差。组内方差只包含随机误差。

组间方差:某一因素的不同水平(不同总体)下各样本之间的方差，例如，4个行业被投诉次数之间的方差。组间方差既包括随机误差，也包括系统误差。

如果不同行业对投诉次数没有影响，则组间误差中只包含随机误差，没有系统误差，这时组同误差与组内误差经过平均后的数值很接近，它们的比值会接近1。

如果不同行业对投诉次数有影响，在组间误差中除包含随机误差以外，还会包含有系统误差。这时组间误差平均后的数值就会大于组内误差平均后的数值，它们之间的比值就会大于1。当比值大到某种程度时，我们就认为不同水平之间存在显著差异，即自变量对因变量有影响。

判断行业对投诉次数是否有显著影响，实际上也就是检验被投诉次数的差异主要是什么原因所引起的。如果这种差异主要是系统误差，说明不同行业对投诉次数有显著影响，也就是说不同行业总体的均值是不一样的。

​​​​​​​​​​​​​​1.4、方差分析的前提条件

使用方差分析需要满足一定的前提条件，主要包括以下条件。

1. 各水平下的总体都服从正态分布,例如,每个行业被投诉的次数必须服从正态分布。
2. 各水平下的总体方差可以不知道，但要求彼此相等，即方差齐性，例如，4个行业被投诉次数的方差相等。
3. 每个试验数据的取得是相互独立的，例如，每个行业被投诉的次数与其他行业被业被投诉次数的相互独立。

2、方差分析相关的统计量

​​​​​​​​​​​​​​2.1、 水平(总体)的均值

假设从第i个总体中抽取一个容量为ni的简单随机样本，第i个总体样本均值公式如下，

2.2、 全部观察值的总均值

全部观察值Xij 的总和除以观察值的总个数。

​​​​​​​2.3、 总离差平方和(SST)

样本全部观察值Xij 与总平均值的离差平方和，反映全部观察值的离散状况。

SST能反映全部试验数据Xij 之间的总的波动，因此称为总偏差平方和。

​​​​​​​2.4、水平项平方和(SS4)

各个水平Ai下样本均值与样本总平均的偏差平方和，它在一定程度上反映了各总体均值μj之间的差异引起的波动，又称组间平方和，该平方和既包括随机误差，也包括系统误差。

2.5、误差项平方和(SSE)

在各个总体Ai下，样本数据Xij与其总体均值的偏差平方和反映了抽样的随机性引起的样本数据Xij的波动，又称组内平方和，该平方和反映的是随机误差的大小。

2.6、总离差平方和的分解

总离差平方和 SST包括误差项平方和SSE(随机误差引起)与水平项平方和 SSA(随机误差和外平差异引起的系统误差)，证明如下。

可得平方和分解式:SST=SSE+SSA。

其中总离差平方和(SST)反映全部数据总的误差程度,组内平方和(SSE)反映随机误差的大小，组间平方和(SSA)反映随机误差和系统误差的大小。

​​​​​​​​​​​​​​2.7、各自由度

总偏差平方和(SST)的自由度为n-1，其中n为全部观察值的个数;误差项离差平方和(SSE的自由度为k-1，其中k为因素水平(总体)的个数;水平项离差平方和(SS4)的自由度为n-k。

​​​​​​​2.8、各误差的均方差MSA和MSE

各误差平方和的大小与样本观察值的个数有关，我们只需要求出平均值，称之为均方差。组间腾SSA的均方差记为MSA，组内方差SSE的均方差记为MSE，计算方法是用误差平方和除以相的自由度。

3、方差分析的作用

​​​​​​​3.1、比较多组均值

检验多个组（如不同治疗方法、不同品牌产品等）的均值是否存在显著差异，避免逐一两两比较带来的误差累积（如t检验的多次使用）。

​​​​​​​3.2、 分解变异来源

将总变异分解为：

组间变异（不同组之间的差异，反映处理效应）。

组内变异（组内个体随机误差）。
通过比较两者判断组间差异是否显著。

​​​​​​​3.3、控制Ⅰ类错误

相比多次t检验，ANOVA在一次分析中同时比较所有组，降低了总体犯错误的概率。

​​​​​​​3.4、扩展应用

单因素ANOVA：分析一个分类变量对连续变量的影响（如不同施肥量对作物产量的影响）。

多因素ANOVA：分析多个分类变量及其交互作用（如施肥量和浇水频率共同对产量的影响）。

协方差分析（ANCOVA）：加入连续型协变量（如控制基线水平的影响）。