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1. 题意

给定一个数字范围，把每个数根据数位和放到相应的盒子中；求有最多数字的盒子编号。

2. 题解

这题比较简单，但有较多的解法。

2.1 哈希表

由于最大数为$100000$，因此最大的数位和为$45$。我们只需要开一个大小$46$的更加方便，然后遍历这个范围，计算数位和，相应表项增加，最后求一个最大值就好了。

class Solution {
public:int countBalls(int lowLimit, int highLimit) {auto digitSum = [](int v) {int ans = 0;while (v) {ans += v % 10;v /= 10;}return ans;};vector<int> hs(46, 0);for (int i = lowLimit;i <= highLimit;i++) {hs[digitSum(i)]++;}return *max_element(hs.begin(), hs.end());}
};

2.2 前缀和

数据范围为$1-100000$，可以预处理出前$k$个数每个数位和的状态，对于范围$[a,b]$的 数位和就可以由$mem[b]-mem[a-1]$得到。

class Solution {
public:int countBalls(int lowLimit, int highLimit) {array<array<int,46>, 100001> mem{};auto digitSum = [](int v) {int ans = 0;while (v) {ans += v % 10;v /= 10;}return ans;};for (int i = 1;i <= 100000;i++) {mem[i] = mem[i - 1];mem[i][digitSum(i)]++;}int ans = 0;for (int i = 1; i <= 45;i++) {ans = max(ans, mem[highLimit][i] - mem[lowLimit - 1][i]);}return ans;}
};

2.3 数位dp

数位dp入门见数位dp。

这个题目的状态转移方程为
m = ⌊ lg ⁡ n ⌋ a m = ⌊ n / ( 1 0 m ) ⌋ d p [ m ] [ k ] = ∑ i = 0 min ⁡ { a m − 1 , k } d p [ 1 0 m − 1 ] [ k − i ] + d p [ m − a m 1 0 m ] [ k − a m ] m =\lfloor \lg n \rfloor \\ a_m =\lfloor n /(10^{m}) \rfloor \\ dp[m][k]=\sum_{i=0}^{\min\{a_{m}-1,k\}}dp[10^{m-1}][k-i]+dp[m-a_m10^{m}][k-a_{m}] m=⌊lgn⌋am​=⌊n/(10m)⌋dp[m][k]=i=0∑min{am​−1,k}​dp[10m−1][k−i]+dp[m−am​10m][k−am​]

我们可以预先求出$dp[10^d-1][k]$

令$dp[10^d-1]=T[d]$

T [ d ] [ k ] = ∑ i = 0 min ⁡ { k , 9 } T [ d − 1 ] [ k − i ] T[d][k] = \sum_{i=0}^{\min \{k, 9\}}T[d-1][k-i] T[d][k]=i=0∑min{k,9}​T[d−1][k−i]

下面是递归的代码，看之后能不能补一下递推的。

class Solution {public:static constexpr int MAXPOW = 5;static constexpr int BASE   = 10;static constexpr int MAXSUM = MAXPOW * (BASE - 1);int getRes(int v, int k, const std::array<std::array<int, MAXSUM + 1>, MAXPOW + 1> &dp) {if ( v < 10) {return v >= k ? 1 : 0;}int ans =  0;int digitMost = 1;int ts = BASE;while (ts <= v) {ts *= BASE;digitMost++;}digitMost--;int msb = v / (ts / BASE);int lm =  std::min(msb - 1, k) ;for (int i = 0;i <= lm; i++)ans += dp[digitMost][k - i];int ret = 0;if (msb <= k) {ret += getRes(v - msb * (ts / BASE), k - msb, dp);}return ans + ret;}int countBalls(int lowLimit, int highLimit) {std::array<std::array<int,MAXSUM + 1>, MAXPOW + 1> dp{};for (int i = 0; i < BASE; i++)dp[1][i] = 1;for (int i = 2;i <= MAXPOW; i++) {for (int j = 0; j <= MAXSUM; ++j) {int bd = std::min(BASE - 1, j);for (int k = 0; k <= bd; ++k) {dp[i][j] += dp[i - 1][j - k];}}}int ans = 0;for (int i = 1; i <= MAXSUM;i++) {int nums = getRes(highLimit, i, dp) - getRes(lowLimit - 1, i, dp);ans = std::max(ans, getRes(highLimit, i, dp) - getRes(lowLimit - 1, i, dp));}return ans;}};

Ref

03xf