行业b2b网站今天发生的新闻

这个等式成立是因为模运算的加法性质，即模运算在加法操作下具有分配性。我们可以从数学上证明这个等式：

---

​证明：​​

设 a 和 b 是任意整数，MOD 是一个正整数。我们需要证明：

(a % MOD + b % MOD) % MOD=(a+b) % MOD

​步骤 1：定义余数​

我们可以将 a 和 b 表示为：

a=q1​⋅MOD+r1​（其中 0≤r1​<MOD）

b=q2​⋅MOD+r2​（其中 0≤r2​<MOD）

其中：

• r1 = a % MOD（a 对 MOD 取余的结果）
• r2 = b % MOD（b 对 MOD 取余的结果）

​步骤 2：计算 (a % MOD + b % MOD) % MOD

a % MOD+b % MOD=r1​+r2​

如果 r1 + r2 < MOD，那么：

(r1​+r2​) % MOD=r1​+r2​

如果 r1 + r2 >= MOD，那么：

(r1​+r2​) % MOD=(r1​+r2​)−MOD*n

​步骤 3：计算 (a + b) % MOD

a+b=(q1​⋅MOD+r1​)+(q2​⋅MOD+r2​)=(q1​+q2​)⋅MOD+(r1​+r2​)

因此：

(a+b) % MOD=(r1+r2) = (r1​+r2​) % MOD

​步骤 4：比较两者​

(a % MOD+b % MOD) % MOD=(r1​+r2​) % MOD

(a+b) % MOD=(r1​+r2​) % MOD

所以：

(a % MOD+b % MOD) % MOD=(a+b) % MOD

---

​直观理解​

• a % MOD 表示 a 去掉尽可能多的 MOD 后剩下的部分（即 a 在 [0, MOD-1] 范围内）。
• b % MOD 同理。
• 它们的和 (a % MOD + b % MOD) 可能超过 MOD，所以需要再取一次模，确保结果在 [0, MOD-1] 范围内。
• 而 (a + b) % MOD 也是去掉 a + b 中所有的 MOD 后剩下的部分，所以两者等价。

---

​为什么这个性质在算法中很重要？​​

在算法竞赛和大数计算中，我们经常需要对大数取模，以避免数值溢出（如 C++ 的 int 溢出）或提高计算效率（如 Python 的大数计算较慢）。
这个性质允许我们：

1. ​先对部分结果取模，再相加，最后再取模，而不会影响最终结果。
2. ​减少中间计算过程的数值大小，防止溢出或降低计算复杂度。

---

​示例​

假设 MOD = 7，a = 10，b = 8：

a % MOD=10 % 7=3b % MOD=8 % 7=1(3+1) % 7=4 % 7=4(10+8) % 7=18 % 7=4

两者结果相同，验证了等式成立。

---

​总结​

这个等式成立是因为模运算在加法操作下具有分配性，允许我们先取模再相加，而不会影响最终结果。这在算法优化中非常有用，可以避免大数计算并提高效率。