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要理解 Minmax 算法和 Alpha-Beta 剪枝算法，我们可以从“两人零和博弈”场景入手（比如棋类游戏、石头剪刀布）。这类场景的核心是：你和对手轮流决策，你的目标是最大化自己的收益，对手则会最小化你的收益。

一、Minmax 算法：最简单的博弈决策

1. 核心思想

想象你在玩一个简单的游戏：你和对手轮流选数，最终的得分由你们的选择共同决定。

• 你（Max 方）：每次选择都想让最终得分尽可能高（最大化收益）。
• 对手（Min 方）：每次选择都想让最终得分尽可能低（最小化你的收益）。

Minmax 算法通过“游戏树”模拟所有可能的决策路径，计算每个路径的最终得分，帮你找到最优决策。

2. 用“游戏树”直观理解

我们用一个简化的“数字游戏”举例：

• 游戏规则：你（Max）先选左/右，对手（Min）再选左/右，最终得分由最后一层的数字决定。
• 目标：你要找到能让自己得分最高的初始选择。

游戏树如下（每层节点代表一个决策步骤，叶子节点是最终得分）：

          （你：Max）/        \/          \（对手：Min）   （对手：Min）/    \         /    \3      5       2      7
（终局）（终局） （终局） （终局）

3. Minmax 计算步骤

步骤1：从“终局”倒推，计算每个节点的“最优得分”

• 叶子节点：就是终局得分（3、5、2、7）。
• Min 节点（对手）：选子节点中最小的得分（对手会尽量压低你的收益）。
  • 左 Min 节点：从 3 和 5 中选最小 → 3。
  • 右 Min 节点：从 2 和 7 中选最小 → 2。
• Max 节点（你）：选子节点中最大的得分（你会尽量抬高自己的收益）。
  • 根节点：从左 Min（3）和右 Min（2）中选最大 → 3。

结论：你应该选择“左分支”，最终得分至少为 3（如果选右分支，对手会让你只能得 2）。

4. 总结 Minmax

• 本质：通过“假设对手最优”倒推自己的最优决策。
• 缺点：如果游戏树很深（比如围棋），需要计算的节点太多，效率极低。

二、Alpha-Beta 剪枝：Minmax 的“效率优化”

Alpha-Beta 剪枝的核心是：去掉“明显不会被选择”的分支计算，减少工作量，结果和 Minmax 完全一致。

1. 关键概念

• Alpha（α）：当前 Max 节点“能保证的最低得分”（低于这个分，Max 绝不会接受）。
• Beta（β）：当前 Min 节点“能接受的最高得分”（高于这个分，Min 绝不会接受）。
• 剪枝条件：当 α ≥ β 时，说明当前分支已经没有意义（Max 不接受，Min 也不接受），可以停止计算。

2. 用同一个游戏树演示剪枝过程

还是上面的数字游戏，我们一步步计算并剪枝：

          （你：Max）/        \/          \（对手：Min）   （对手：Min）/    \         /    \3      5       2      7
（终局）（终局） （终局） （终局）

步骤1：计算左分支的 Min 节点

• 左 Min 节点的第一个子节点得分是 3 → 暂时记录 β=3（Min 最多接受 3）。
• 再看左 Min 节点的第二个子节点得分是 5 → Min 会选更小的 3，所以左 Min 节点最终得分是 3。
• 此时，根节点（Max）的 α 更新为 3（Max 至少能得 3）。

步骤2：计算右分支的 Min 节点

• 右 Min 节点的第一个子节点得分是 2 → 暂时记录 β=2（Min 最多接受 2）。
• 此时，根节点的 α=3，右 Min 节点的 β=2 → 因为 3 ≥ 2（α ≥ β），说明右 Min 节点的其他子节点（比如 7）再大也没用了（Min 不会选 7，因为 2 更小）。
• 剪枝！ 右 Min 节点的第二个子节点（7）不需要计算了。

最终，右 Min 节点的得分是 2，根节点 Max 选左分支（3），结果和 Minmax 一致，但少算了一个节点。

3. 剪枝效果对比

• Minmax：需要计算所有 4 个叶子节点。
• Alpha-Beta：只需要计算 3 个叶子节点（剪掉了 7）。

游戏树越深、分支越多，剪枝效果越明显（比如国际象棋，剪枝后计算量可能减少 90% 以上）。

三、对比总结

算法	核心逻辑	优势	图示简化（游戏树）
Minmax	Max 求最大，Min 求最小，倒推最优决策	逻辑简单，结果最优	全树计算，无剪枝
Alpha-Beta	用 α（Max 底线）和 β（Min 上限）剪枝	效率极高，结果不变	剪掉 α ≥ β 的分支，减少计算量

四、举一个例子

• Minmax：你和对手玩石头剪刀布，你要考虑“对手出什么会让你输得最惨”，然后避开这个选择。
• Alpha-Beta 剪枝：当你发现“无论对手怎么出，你选石头都至少能打平”，就没必要再想“选剪刀或布”的情况了，直接选石头即可。

通过这种方式，算法能在复杂的博弈中快速找到最优解~