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174. 地下城游戏 - 力扣（LeetCode）

 

解法：

• 状态表示：

这道题如果我们定义成：从起点开始，到达 [i, j] 位置的时候，所需的最低初始健康点数。

那么我们分析状态转移的时候会有⼀个问题：那就是我们当前的健康点数还会受到后⾯的路径的影 响。也就是从上往下的状态转移不能很好地解决问题。

这个时候我们要换⼀种状态表示：从 [i, j] 位置出发，到达终点时所需要的最低初始健康点数。这样我们在分析状态转移的时候，后续的最佳状态就已经知晓。

综上所述，定义状态表示为：

dp[i][j] 表示：从 [i, j] 位置出发，到达终点时所需的最低初始健康点数。

• 状态转移方程：

对于 dp[i][j] ，从 [i, j] 位置出发，下⼀步会有两种选择（为了⽅便理解，设 dp[i] [j] 的最终答案是 x ）：

        i. 走到右边，然后走向终点

那么我们在 [i, j] 位置的最低健康点数加上这⼀个位置的消耗，应该要⼤于等于右边位置的最低健康点数

也就是： x + dungeon[i][j] >= dp[i][j + 1] 。通过移项可得： x >= dp[i][j + 1] - dungeon[i][j] 。因为我们要的是最小值，因此这种情况下的 x = dp[i][j + 1] - dungeon[i][j] ；

        ii. ⾛到下边，然后走向终点

那么我们在 [i, j] 位置的最低健康点数加上这⼀个位置的消耗，应该要大于等于下边位置的最低健康点数，也就是： x + dungeon[i][j] >= dp[i + 1][j] 。

通过移项可得： x >= dp[i + 1][j] - dungeon[i][j] 。因为我们要的是最小值，因此这种情况下的 x = dp[i + 1][j] - dungeon[i][j] ；

综上所述，我们需要的是两种情况下的最小值，因此可得状态转移⽅程为：

dp[i][j] = min(dp[i + 1][j], dp[i][j + 1]) - dungeon[i][j]

但是，如果当前位置的 dungeon[i][j] 是⼀个比较⼤的正数的话， dp[i][j] 的值可能变

成 0 或者负数。也就是最低点数会小于 1 ，那么骑⼠就会死亡。因此我们求出来的 dp[i][j] 如果小于等于 0 的话，说明此时的最低初始值应该为 1 。处理这种情况仅需让 dp[i][j] 与 1 取⼀个最大值即可：

dp[i][j] = max(1, dp[i][j])

• 3. 初始化：

可以在最前面加上⼀个「辅助结点」，帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点：

1. 辅助结点里面的值要「保证后续填表是正确的」；
2. 下标的映射关系」。

在本题中，在 dp 表最后⾯添加⼀行，并且添加⼀列后，所有的值都先初始化为无穷大，然后让dp[m][n - 1] = dp[m - 1][n] = 1 即可。

• 4. 填表顺序：

根据「状态转移方程」，我们需要「从下往上填每⼀⾏」，「每⼀⾏从右往左」。

•  返回值：

根据「状态表示」，我们需要返回 dp[0][0] 的值。

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• 问题：

为什么不能使用传统的"左上到右下"动态规划思路？

1. 健康点的双重约束：

   • 我们需要同时考虑：
     a . 路径上的累计伤害（当前生命值）
     b.  整个路径中遇到的最低生命值（决定初始生命需求）

   • 从左上到右下无法同时跟踪这两个信息

2. 路径依赖的方向性问题：

   • 当前房间的最低初始生命值取决于后面的路径（未来要面对的危险）

   • 比如一个房间，如果后面有大量治疗，可以允许当前生命值较低；如果后面有大量伤害，则需要更高初始生命

3. 局部最优不等于全局最优：

   • 传统DP假设前面的选择不会影响后面的决策

   • 但在这里，前面的路径选择会影响后面所需的最低初始生命

为什么"从右下到左上"的DP有效？

逆向动态规划有效的关键原因：

1. 已知终点需求：

   • 公主所在的右下角房间：至少需要1点生命值（如果dungeon[m-1][n-1] ≥ 0）

   • 或者 1 - dungeon[m-1][n-1]（如果为负）

2. 逆向推导安全值：

   • 对于每个房间，计算"从该房间到终点所需的最小初始生命值"

   • dp[i][j] = max(1, min(dp[i+1][j], dp[i][j+1]) - dungeon[i][j])

3. 确保全程存活：

   • 每个房间的值保证骑士能活着走到终点

   • 考虑了后续路径的所有可能危险

关键区别总结

因此，这道题必须使用逆向动态规划才能得到正确解。这种"未来决定现在"的思路是解决这类有双向约束问题的常用技巧。

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代码：

C++：

java：