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好的！我们来详细分析 LeetCode 1497. 检查数组对是否可以被 k 整除 这道题的解法和思路。

题目: https://leetcode.cn/problems/check-if-array-pairs-are-divisible-by-k/description/

题目分析

问题描述：
给定一个整数数组 arr 和一个整数 k，判断数组中的元素是否可以分成若干对，使得每对元素的和都能被 k 整除。

示例：
输入：arr = [1, 2, 3, 4, 5, 10, 6, 7, 8, 9], k = 5
输出：true
解释：可以分成如下五对：(1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6), (5, 10)，每对的和都是 10，能被 5 整除。

核心思路

1. 余数分解：将每个元素 num 对 k 取余，得到余数 r = num % k。
2. 互补余数：对于每个余数 r，其互补余数为 (k - r) % k。
3. 哈希表统计：使用哈希表统计每个余数的出现次数，检查余数 r 和互补余数 (k - r) % k 的次数是否匹配。

解法步骤

1. 预处理余数：遍历数组，计算每个元素的余数 r，并将余数 r 的计数加 1。
2. 检查余数对：
   • 余数 0：出现次数必须为偶数，否则无法配对。
   • 其他余数：余数 r 的次数必须等于互补余数 (k - r) % k 的次数。

代码实现

class Solution {
public:bool canArrange(vector<int>& arr, int k) {vector<int> remainderCount(k, 0);// 统计每个余数的出现次数for (int num : arr) {int r = (num % k + k) % k;  // 处理负数余数，确保结果在 [0, k-1] 范围内remainderCount[r]++;}// 检查余数0的次数是否为偶数if (remainderCount[0] % 2 != 0) {return false;}// 检查其他余数 i 和 k-i 的次数是否匹配for (int i = 1; i <= k/2; i++) {if (i == k - i) {  // 当 k 为偶数且 i 是 k/2 时if (remainderCount[i] % 2 != 0) {return false;}} else {if (remainderCount[i] != remainderCount[k - i]) {return false;}}}return true;}
};

详细解释

1. 余数预处理：

   • 使用 (num % k + k) % k 确保负数余数正确转换为正数（例如，-3 % 5 转换为 2）。

2. 余数 0 的处理：

   • 余数为 0 的元素必须两两配对，因此其出现次数必须为偶数。

3. 互补余数的处理：

   • 对于每个余数 i（1 ≤ i ≤ k/2），其互补余数为 k - i。
   • 当 k 为偶数且 i = k/2 时，余数 i 必须自身配对，因此其出现次数必须为偶数。

示例验证

输入：arr = [1, 2, 3, 4], k = 5
步骤如下：

1. 计算余数：

   • 1 % 5 = 1, 2 % 5 = 2, 3 % 5 = 3, 4 % 5 = 4。
   • 余数计数：remainderCount = [0, 1, 1, 1, 1]。

2. 检查余数对：

   • 余数 0：次数为 0，符合条件。
   • 余数 1 和 4：次数均为 1，匹配。
   • 余数 2 和 3：次数均为 1，匹配。

输出：true（可以配对为 (1, 4) 和 (2, 3)）。

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n + k)，其中 n 是数组长度，k 是给定的除数。
• 空间复杂度：O(k)，主要用于存储余数的计数。

总结

通过余数分解和互补余数的配对检查，我们可以高效地判断数组是否能被分成若干对，使得每对的和都能被 k 整除。这种方法利用了模运算的性质，将问题转化为余数的匹配问题，时间复杂度为线性级。

这行代码检查的是当 k 为偶数且 i 恰好是 k/2 时，余数为 i 的元素数量必须是偶数。这是因为当 i = k/2 时，其互补余数仍然是 i 自身，因此这些元素必须两两配对。

补充：详细解释条件判断

• 代码： if (i == k - i) // 当 k 为偶数且 i 是 k/2 时

当 k 为偶数时，存在一个特殊的余数 i = k/2（例如，当 k=4 时，i=2）。此时：

1. 余数 i 的互补性：
   余数 i 的互补余数是 (k - i) % k。当 i = k/2 时，k - i = k/2，因此互补余数仍然是 i。

   • 示例：若 k=4，余数 2 的互补余数是 4-2=2。

2. 配对规则：
   余数为 i 的元素只能与同样余数为 i 的元素配对。因此，余数为 i 的元素数量必须是偶数，否则无法完全配对。

   • 示例：若余数 2 出现了 3 次（奇数），则必然有一个元素无法配对，导致无法满足条件。

代码逻辑验证

在代码中，当 i == k - i 时（即 i 是 k/2），检查 remainderCount[i] 是否为偶数：

if (i == k - i) {  // 当 k 为偶数且 i 是 k/2 时if (remainderCount[i] % 2 != 0) {  // 若余数为 i 的元素数量为奇数return false;  // 无法两两配对，返回 false}
}

示例验证

假设 k=4，数组为 [2, 2, 2, 6]，余数统计为：

• 余数 2 出现了 3 次（元素 2, 2, 6）。
• 互补余数检查时，i=2 的互补余数仍为 2，但 3 % 2 != 0，因此无法配对，返回 false。

总结

当 k 为偶数时，余数 k/2 的元素必须两两配对，因此其数量必须为偶数。这是代码中检查 remainderCount[i] % 2 != 0 的核心原因。