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一、堆的定义
堆是一棵完全二叉树，树中的每个结点的值都不小于（或不大于）其左右孩子结点的值。其中，如果父亲结点的值始终大于或等于孩子结点的值，那么称这样的堆为大顶堆，这时每个结点的值都是以它为根节点的子树的最大值；如果父节点的值始终小于或等于孩子结点的值，那么称这样的堆为小顶堆，这时每个结点的值都是以它为根节点的子树的最小值。
PS：下列所有操作针对大顶堆进行实现，如果构造小顶堆，利用相反思路即可，这里不做阐述。
二、堆的构造
那么给定一个初始序列怎么把它构造成堆呢？这里我们以构造大顶堆为例，进行演示。
假如给定一个整数序列为88、55、82、57、68、92、99、98、66、56
将他们按照树的层序从上到下、从左往右依次摆放，就得到了我们的初始堆。
从第一个非叶子结点开始，自右往左、自下往上，进行堆的调整，直至根节点为止。
对于每次访问的结点x，将结点x和它的下一级结点权值（左子树和右子树）进行比较，如果存在下一级结点的权值比结点x的大，将结点x与下一级结点中权值最大的进行交换。交换完后让结点x继续与下一级的结点进行比较，直到不存在下一级结点或者下一级结点权值都比结点x小为止。
三、堆的代码实现
我们知道堆其实是一棵完全二叉树，那么我们也很容易可以知道，在完全二叉树中，对于结点x，它的左子树是结点2*x，右子树是2*x+1。根据这个性质，我们只需要用一个数组就可以对堆进行构造，定义堆数组如下：
int n; //堆中结点数
int heap[10010]; //定义堆数组我们先根据给定初始序列建立初始堆
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>heap[i];接着我们要找到这个完全二叉树的第一个非叶子结点，其实就是最后一个结点n的父节点，所以第一个非叶子节点下标即为n/2。然后我们从这个结点开始往前进行遍历，直至遍历到根结点1为止。
在进行一次遍历时，对该节点进行堆的调整（向下调整），具体代码实现如下：
//调整
void downAdjust(int low,int high){int i=low,j=i*2; //i为需要被调整的结点，j为i的左孩子结点 while(j<=high){ //如果存在孩子结点，继续进行调整if(j+1<=high&&heap[j+1]>heap[j]){j=j+1; //如果右子树存在，且右子树的权值大于左子树，更新j为权值最大的子树的下标 } if(heap[j]>heap[i]) //如果存在孩子结点的最大权值大于父节点，进行调整 {swap(heap[j],heap[i]); i=j;j=i*2; //更新调整结点的为止，和调整结点的新的子结点 }else break; }
} //堆的构建，对初始堆进行调整
void createHeap(int n){for(int i=n/2;i>=1;i--)downAdjust(i,n); //对结点i进行向下调整
}
完整代码实现如下：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define endl '\n'int n; //堆中结点数
int heap[10010]; //定义堆数组//调整
void downAdjust(int low,int high){int i=low,j=i*2; //i为需要被调整的结点，j为i的左孩子结点 while(j<=high){ //如果存在孩子结点，继续进行调整if(j+1<=high&&heap[j+1]>heap[j]){j=j+1; //如果右子树存在，且右子树的权值大于左子树，更新j为权值最大的子树的下标 } if(heap[j]>heap[i]) //如果存在孩子结点的最大权值大于父节点，进行调整 {swap(heap[j],heap[i]); i=j;j=i*2; //更新调整结点的为止，和调整结点的新的子结点 }else break; }
} //堆的构建，对初始堆进行调整
void createHeap(int n){for(int i=n/2;i>=1;i--)downAdjust(i,n); //对结点i进行向下调整
}signed main(){cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++) cin>>heap[i];createHeap(n);for(int i=1;i<=n;i++) cout<<heap[i]<<' '; } 四、堆的结点增加和删除
我们都知道，在适用STL中的priority_queue构建堆的时候，可以进行结点的增加和删除，并且在增加结点和删除结点操作后，依旧保持大顶堆和小顶堆。那么在实际实现中，怎么实现上述操作呢？
1、堆的结点增加
在堆中，如果要进行结点的增加操作，一般我们将结点增加到数组的末尾，得到数据data，令heap[++n]=data。然后再向上进行调整。这里需要注意的是，在堆中增加结点时，需要向上进行结点的调整，对于新增加的结点x，将x与它的父节点进行比较，如果结点x的权值大于它的父结点 结点x/2，那么就交换两个结点，并将x的位置进行更新为x/2。然后继续向上机械能比较，如果调整到了根节点（即x/2==0）或者结点x的权值不大于父亲结点了。说明调整结束，结点增加成功。代码实现如下：
//从high向上调整
void upAdjust(int low,int high){int i=high,j=i/2;while(j>=low){if(heap[j]<heap[i]){swap(heap[i],heap[j]);i=j;j=i/2;}else break;}
}void insert(int x){heap[++n]=x;upAdjust(1,n); }2、堆的结点删除（删除堆顶元素）
一般进行堆的结点删除指的是删除堆顶元素，这个实现思路非常简单，就是将堆顶元素用heap[n]进行覆盖，再n--，然后再将堆顶元素向下调整。
void deleteTop(){heap[1]=heap[n--];downAdjust(1,n);
}3、完整代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define endl '\n'int n; //堆中结点数
int heap[10010]; //定义堆数组//调整
void downAdjust(int low,int high){int i=low,j=i*2; //i为需要被调整的结点，j为i的左孩子结点 while(j<=high){ //如果存在孩子结点，继续进行调整if(j+1<=high&&heap[j+1]>heap[j]){j=j+1; //如果右子树存在，且右子树的权值大于左子树，更新j为权值最大的子树的下标 } if(heap[j]>heap[i]) //如果存在孩子结点的最大权值大于父节点，进行调整 {swap(heap[j],heap[i]); i=j;j=i*2; //更新调整结点的为止，和调整结点的新的子结点 }else break; }
} //堆的构建，对初始堆进行调整
void createHeap(int n){for(int i=n/2;i>=1;i--)downAdjust(i,n); //对结点i进行向下调整
}//从high向上调整
void upAdjust(int low,int high){int i=high,j=i/2;while(j>=low){if(heap[j]<heap[i]){swap(heap[i],heap[j]);i=j;j=i/2;}else break;}
}void insert(int x){heap[++n]=x;upAdjust(1,n); }
void deleteTop(){heap[1]=heap[n--];downAdjust(1,n);
}
signed main(){cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++) cin>>heap[i];createHeap(n);for(int i=1;i<=n;i++) cout<<heap[i]<<' '; int x;cin>>x;insert(x);for(int i=1;i<=n;i++) cout<<heap[i]<<' '; cout<<endl;deleteTop();for(int i=1;i<=n;i++) cout<<heap[i]<<' '; } /*
10
88 55 82 57 68 92 99 98 66 56
*/五、堆排序
堆排序是指使用堆结构对一个序列进行排序。此处讨论递增排序的情况。
堆排序的思路其实就是删除堆顶元素的思路，我们可以知道，删除堆顶元素进行调整后，可以得到新的大顶堆堆顶，如果一直进行删除堆顶元素操作，得到的大顶堆堆顶序列，是不是就是我们的堆排序序列呢。（对于堆排序可以用STL priority实现，时间复杂度为O(nlogn) ）。
void heapSort(int n){for(int i=n;i>1;i--){ swap(heap[1],heap[i]);downAdjust(1,i-1); }
}假设堆里已经有元素。
priority_queue<int> heap;
void heapSort(){cout<<heap.top()<<' ';heap.pop();
}六、例题
L2-012 关于堆的判断 - 团体程序设计天梯赛-练习集