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一、为什么需要前缀和？

在开发可视化仪表盘时会遇到这样的请求：

// 每秒更新 100,000 条交易数据的区间统计
const transactions = ref(new Array(100000).fill(0))

需要实时计算 [2000, 5000] 区间的交易总额，之间遍历会导致：

// 时间复杂度 O(n) 的暴力解法
function sumRange(start, end) {let sum = 0for (let i = start; i <= end; i++) {sum += transactions.value[i]}return sum // 每调用一次就遍历一次，性能灾难！
}

二、前缀和核心原理

前缀和（Prefix Sum）是一种预处理数组的技术，通过构建辅助数组快速计算原数组任意区间的和。
数学表达：
原数组：nums[0], nums[1], nums[2],…,nums[n - 1]
前缀和数组：preSum[0]，preSum[1], preSum[2],…,preSum[n]
其中 preSum[i] = nums[0] + nums[1] + … + nums[i - 1]
构建过程：
初始化：preSum[0] = 0 (空数组的和)
递推公式：preSum[i] = preSum[i - 1] + nums[i - 1]
区间和计算：
计算区间[left, right]的和：
sum(nums[left…right]) = preSum[right + 1] - preSum[left]

1. 空间换时间的艺术

// 预处理阶段（O(n)）
const preSum = reactive([])
preSum[0] = 0
for (let i = 1; i <= transactions.value.length; i++) {preSum[i] = preSum[i - 1] + transactions.value[i - 1]
}// 查询阶段 （O(1)的复杂度）
function optimizedSum(start, end) {return preSum[end + 1] - preSum[start]
}

2. 数学之美

三、Vue3 中的实现

1. Composition API 封装

// usePrefixSum.ts
import { ref, reactive, watchEffect } from 'vue'export function usePrefixSum(sourceArray: Ref<number[]>) {const preSum = reactive<number[]>([])watchEffect(() => {preSum.length = 0preSum.push(0)sourceArray.value.forEach((num, index) => {preSum[index + 1] = preSum[index] + num})})const getRangeSum = (start: number, end: number) => {return preSum[end + 1] - preSum[start]}return { preSum, getRangeSum }
}

2. 在组件中使用

<script setup lang="ts">import { ref, computed } from 'vue'import { usePrefixSum } form './usePrefixSum'const data = ref([10, 20, 30, 40, 50])const { getRangeSum } = usePrefixSum(data)// 实时响应式计算const currentSum = computed(() => getRangeSum(1, 3)) // 20 + 30 + 40 = 90
</script>

四、应用场景

1. 动态数据仪表盘

// 实时更新股票波动区间统计
watch(stockData, (newVal) => {data.value = newVal.map((item) => item.price)
})

2. 大数据量滚动加载

<template><!-- 显示当前可视区域的数据总和 --><div v-for="(chunk, i) in visibleChunks" :key="i">区块{{i}}总和：{{getRangeSum(...getChunkRange(i))}}</div>
</template>

3. 动态规划优化

// 最长子数组和问题优化
function maxSubArray(nums: number[]) {const preSum = [0]let minSum = 0let max = -Infinitynums.forEach((num, index) => {preSum[i + 1] = preSum[i] + nummax = Math.max(max, preSum[i + 1] - minSum)minSum = Math.min(minSum, preSum[i + 1])})return max
}

五、性能对比实测

测试数据：100,000 个元素的数组

方法	初始化耗时	10	万次查询总耗时
暴力求和	0ms	1250ms
前缀和	15ms	3ms

结论 ​​：在频繁查询场景下，前缀和的性能提升可达 400 倍!

六、注意事项

1. 索引偏移陷阱

记住 preSum[n]表示前 n 项和：

// 正确写法
sumRange(a,b) => preSum[b + 1] - preSum[a]

2. 动态更新处理

当原始数组变化时：

// 使用 watchEffect 自动重建前缀和
watchEffect(updatePreSum)

3. 内存优化技巧

对大数组使用 Int32Array:

const preSum = new Int32Array(data.length + 1)

七、总结

除了上述的应用场景外，我们还可以进行其他的扩展思考，比如说，差分数组：前缀和的逆运算，适合区间更新场景；树状数组：动态前缀和的更优解，支持单点修改等等。