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一、利萨如图形简介

利萨如图形（Lissajous curve） 是一种由两个正弦波在垂直方向叠加产生的二维曲线，常用于信号处理、振动分析、视觉艺术等领域。

数学表达式：

其中：

• A,B：振幅（控制图形在 x 和 y 方向的大小）

• a,b：频率（控制图形的重复次数与形状）

• δ：相位差（控制图形的旋转或对称性）

二、图形特性分析

• 当 a:b为简单整数比时，利萨如图形为闭合图案；

• δ=0：图形通常关于 x=y 或 x=-y 对称；

• 不同的频率比 a:b 会产生不同形状的“花瓣”、“∞”型、椭圆等图形；

• 改变相位差 δ 会让图形“旋转”或发生对称变化。

三、Python 动态绘制源码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.animation as animation# 设置基本参数
A = 1         # x方向振幅
B = 1         # y方向振幅
a = 5         # x方向频率
b = 4         # y方向频率# 时间序列：生成足够平滑的曲线
t = np.linspace(0, 2 * np.pi, 1000)# 创建图形窗口和坐标轴
fig, ax = plt.subplots()
ax.set_aspect('equal')        # 保持 x/y 比例一致
ax.set_xlim(-1.2, 1.2)
ax.set_ylim(-1.2, 1.2)
ax.set_title("Lissajous Curve Animation")
ax.grid(True)# 初始化一条曲线（动态更新的数据）
line, = ax.plot([], [], lw=2, color='blue')# 初始化函数：清空线条
def init():line.set_data([], [])return line,# 动画函数：每一帧更新图像
def animate(i):# i: 帧编号，从 0 到 frames-1# 将相位差 delta 作为动态变化的量delta = 2 * np.pi * i / 100# 计算当前帧的曲线x = A * np.sin(a * t + delta)y = B * np.sin(b * t)# 更新曲线数据line.set_data(x, y)return line,# 创建动画对象
ani = animation.FuncAnimation(fig,             # 图形窗口animate,         # 动画更新函数frames=100,      # 动画帧数init_func=init,  # 初始化函数interval=50,     # 每帧间隔（ms）blit=True        # 启用 blitting 优化
)plt.show()

四 、效果图