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在动态规划算法问题中，存在两种十分相似的问题，一个就是 找零钱问题，另一个是组合总和问题

找零钱问题，其实是零钱问题的一个组合问题，只要零钱的种类和数目相同，就是一种方案；组合总和问题 是一个排列问题，1,2 和 2,1 其实是两种情况的问题

问题的关键点：

• 组合总和计算的是排列，完全背包计算的是组合。比如 1,2 和 2,1 这两个排列，在本题是有区别的，是两种方案；但在完全背包中这两个排列没有区别，只算一种方案。
• 从代码上看，计算排列（本题）需要外层循环枚举体积，内层循环枚举物品；计算组合（完全背包）需要外层循环枚举物品，内层循环枚举体积。

518.零钱兑换 II

518.零钱兑换 II

思路分析：要硬币的种类数目不同，对应的数量不同 才算的是 不同的方案数目，所以动态规划的话，外层循环是遍历硬币的种类，内存循环是amount

递归：因为是相同种类的物品的选择，数目相同的时候，是算同一种方案的，所以要使用两个变量，i用来记录当前遍历到的物品，c用于表示当前所剩余的金额(空间)

class Solution:def change(self, amount: int, coins: List[int]) -> int:# 先使用记忆化搜索@cache# 前i种物品组成金额c的方案数目def dfs(i,c):# 如果遍历完，并且金额为0 就返回1种方案if i < 0:return 1 if c == 0 else 0# 不够的情况，就递归前i-1种if c < coins[i]:return dfs(i-1,c)return dfs(i-1,c) + dfs(i,c-coins[i])return dfs(len(coins) - 1,amount)

转换为动态规划：

class Solution:def change(self, amount: int, coins: List[int]) -> int:n = len(coins)f = [[0] * (amount + 1) for _ in range(n + 1)]f[0][0] = 1for i, x in enumerate(coins):for c in range(amount + 1):if c < x:f[i + 1][c] = f[i][c]else:f[i + 1][c] = f[i][c] + f[i + 1][c - x]return f[n][amount]

当然，这个二维的动态规划，我们可以转化为一维

class Solution:def change(self, amount: int, coins: List[int]) -> int:f = [1] + [0] * amountfor x in coins:for c in range(x, amount + 1):f[c] += f[c - x]return f[amount]

377.组合总和IV

377.组合总和IV

思路分析：这个题目就是爬楼梯的变形，爬楼梯的原型是每次可以向上爬一个或者2步，问可以到达顶部n的方案的次数，而在这题的时候，每次向上的步数是nums[i]里面的数，顶部的高度是 target

和零钱问题的对比，由于我们每次的选择的步伐的大小都可以重复的，所以我们并不用传递两个参数，只用传递剩余的空间i,而在每一个空间i下的递归，我们都会逐一枚举可能得步伐

class Solution:def combinationSum4(self, nums: List[int], target: int) -> int:@cachedef dfs(i):# 到达底部返回if i == 0:return 1# return sum(dfs(i-x) for x in nums if x<= i)ans = []# 枚举可以移动的步数for x in nums:if x <= i:ans.append(dfs(i-x))return sum(ans)return dfs(target)

1:1转化为动态规划

class Solution:def combinationSum4(self, nums: List[int], target: int) -> int:# 排列的问题，物品可以重复，物品放内层循环# def dfs(i):# 	# 到达底部返回#     if i == 0:#         return 1#     ans = []#     # 枚举可以移动的步数#     for x in nums:#         if x <= i:#             ans.append(dfs(i-x))#     return sum(ans)# 转化为动态规划dp = [1]+[0]*targetfor i in range(1,target+1):ans = 0for x in nums:if x<= i:ans+=dp[i-x]dp[i] = ansreturn dp[target]