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主要参考学习资料：
《机器学习算法的数学解析与Python实现》莫凡 著
前置知识：线性代数-Python
目录
- 问题背景
- 数学模型
- 类别表示
- Logistic函数
- 假设函数
- 损失函数
- 训练步骤
- 代码实现
- 特点
问题背景
分类问题是一类预测非连续（离散）值的问题，即预先设定类别，向模型输入带有类别信息的训练集样本，最后进行预测。
待分类别只有两个的分类问题为二元分类问题，超过两个为多分类问题。
多分类问题可以拆解为多次关于正类（是）和负类（否）的二元逻辑分类问题，形成数据结构中的二叉搜索树来解决。
数学模型
类别表示
用数值表示类别的形式有三种：
①数字形式：最直接，例如0为A类，1为B类，2为C类，本文从该形式入门。
②向量形式：广泛应用于深度学习，n元分类使用n个线性无关的n维向量来表示，例如[1,0,0]为A类，[0,1,0]为B类，[0,0,1]为C类。
③概率值形式：预测结果为每个类的可能概率，例如向量[0.114,0.514,0.810]的每个元素分别代表A、B、C三类的概率。
Logistic函数
离散数据往往与阶跃特征紧密联系，一个最基本的阶跃函数如下：
u ( t ) = { 0 , t < 0 1 , t > 0 u(t)=\left\{\begin{matrix}0,t<0\\1,t>0\end{matrix}\right. u(t)={0,t<01,t>0
该函数的输出非0即1，符合二元分类问题的背景，但阶跃函数的不可导为机器学习的优化算法带来问题。
Logistic函数是一种Sigmoid函数（S型函数），作为扮演类似阶跃函数角色的可导函数，其表达式为：
L o g i s t i c ( z ) = 1 1 − e − z \mathrm{Logistic}(z)=\displaystyle\frac1{1-e^{-z}} Logistic(z)=1−e−z1
其图像为：
可见横坐标尺度越大，图像越近似于阶跃函数。
假设函数
利用Logistic函数将线性模型预测的连续值映射到分类问题所需的非连续值，得到假设函数：
H ( x ) = 1 1 + e − ( w T x i + b ) H(x)=\displaystyle\frac1{1+e^{-(\boldsymbol w^Tx_i+b)}} H(x)=1+e−(wTxi+b)1
损失函数
Logistic回归的损失函数为对数损失函数/交叉熵损失函数：
L ( x ) = − y log y ^ − ( 1 − y ) log ( 1 − y ^ ) L(x)=-y\log \hat y-(1-y)\log(1-\hat y) L(x)=−ylogy^−(1−y)log(1−y^)
从分类的两种情况来理解它：
若真实值为1，则预测值趋于1时损失值趋于0；
若真实值为0，则预测值趋于0时损失值趋于0；
训练步骤
Logistic回归算法的训练步骤与线性回归算法类似，只不过输出从连续变成了离散。
代码实现
#导入LogisticRegression类
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
#导入鸢尾花分类数据集
from sklearn.datasets import load_iris
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
#载入鸢尾花数据集
iris = load_iris()
#选择前两个特征作为输入（方便可视化）
X = iris.data[:, :2]
#提取分类标签
y = iris.target
#训练Logistic回归模型
clf = LogisticRegression().fit(X, y)
#用于可视化的函数
def plot_decision_boundary(X, y, model): #根据两个特征的最值确定坐标边界x_min, x_max = X[:, 0].min() - 1, X[:, 0].max() + 1 y_min, y_max = X[:, 1].min() - 1, X[:, 1].max() + 1 #meshgrid方法生成分别以两个列表为横、纵坐标二维网格#二维数组xx和yy分别为网格各点的横、纵坐标矩阵xx, yy = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, 0.01), np.arange(y_min, y_max, 0.01)) #ravel方法将坐标矩阵展开到一维#c_方法按列连接矩阵，即将横、纵坐标一一组合#用模型遍历所有坐标得到各点预测值Z = model.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()]) #将预测值调整为xx的形状Z = Z.reshape(xx.shape) #contourf方法绘制等高线，横纵坐标xx和yy，高度Zplt.contourf(xx, yy, Z, alpha=0.8, cmap=plt.cm.coolwarm) #绘制训练数据的散点图plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y, edgecolors='k', marker='o', cmap=plt.cm.coolwarm) #绘制轴标签和标题 plt.xlabel('Feature 1') plt.ylabel('Feature 2') plt.title('Logistic Regression Decision Boundary') plt.show()
plot_decision_boundary(X, y, clf)
运行结果：
可见模型对鸢尾花数据集中蓝色数据点分类较为准确，而浅色和红色效果较差，这是因为数据点在选取的两个特征维度下线性不可分。
可以通过 model.score(X,y) \texttt{model.score(X,y)} model.score(X,y)对模型进行性能评估。
特点
优点：形式简单，可解释性强，容易理解和实现，计算代价较低。
缺点：效果有时不好，容易欠拟合。
应用领域：二分类领域，或作为其他算法的部件，例如神经网络算法的激活函数。