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庞加莱映射的性质

1. 定义与构造

• 基本思想
  在相空间中选取横截面（庞加莱截面），记录轨迹每次穿过该截面的点，形成离散映射。
• 形式化定义
  若系统存在周期轨道，庞加莱映射 $P:\Sigma \to \Sigma$ 将截面 $\Sigma$上的点映射到下一次穿过的位置。

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2. 主要性质

(a) 周期轨道与不动点

• 对应关系
  庞加莱映射的不动点 $P(x^{\ast })=x^{\ast }$ 对应系统的周期轨道。
• 稳定性分析
  通过线性化雅可比矩阵 $DP(x^{\ast })$ 的特征值判断稳定性：
  • 所有特征值模$|{\lambda }_i|<1$→ 稳定周期轨道
  • 任意 $|{\lambda }_i|>1$→ 不稳定周期轨道

(b) 结构保持性

• 保守系统
  哈密顿系统的庞加莱映射保持辛结构（保面积/体积）。
• 耗散系统
  映射可能导致相空间体积收缩（如吸引子存在时）。

© 横截性条件

• 截面 $\Sigma$需满足横截性（流方向与截面不正交），确保映射局部良定义。

(d) 动力学简化

• 连续流的复杂行为（如混沌）可能映射为离散映射的简单结构（如马蹄映射）。

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3. 应用场景

(a) 稳定性与分岔分析

• 通过不动点随参数的变化，分析周期轨道的分岔（如倍周期分岔）。
• 示例：杜芬振子中庞加莱映射揭示周期运动到混沌的过渡。

(b) 混沌检测

• 混沌轨迹在庞加莱截面上的投影可能呈现分形结构（如洛伦茨系统的“蝴蝶”截面）。

© KAM理论

• 在近可积哈密顿系统中，用于研究不变环面的存在性与破坏。

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4. 注意事项

1. 截面选取
   不当的截面可能导致映射不唯一或计算困难。
2. 非自治系统
   需引入周期外力或将时间视为额外维度扩展相空间。
3. 数值计算
   实际应用中需依赖数值积分（如龙格-库塔法）生成映射。

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5. 示例

二维范德波振子

• 庞加莱截面选取为 $y=0$（横截于流）。
• 周期轨道对应映射不动点，特征值分析可判断极限环稳定性。

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庞加莱映射通过降维和离散化，将连续系统的复杂性问题转化为离散映射问题，成为研究周期行为、稳定性及混沌的核心工具。