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二叉树

二叉树的定义

二叉树是一种特殊的树型结构，它的特点是每个结点最多只有两颗子树（即二叉树中不存在度大于2的结点），且二叉树的子树有左右之分，其次序不能任意颠倒。

⼆叉的意思是这种树的每⼀个结点最多只有两个孩⼦结点。注意这⾥是多有两个孩⼦，也可能没有孩⼦或者是只有⼀个孩⼦。

⼆叉树结点的两个孩⼦，⼀个被称为左孩⼦，⼀个被称为右孩⼦。其顺序是固定的，就像⼈的左⼿和右⼿，不能颠倒混淆。

特殊的二叉树

满二叉树

一棵二叉树所有非叶子结点都存在左右孩子，并且所有叶子结点都在同一层级上，那么这棵树就是满二叉树。

完全二叉树

在满二叉树的基础上，从最底层最右边开始，连续去掉若干个结点，那么就形成了完全二叉树。

除了上述两种二叉树，还存在堆、二叉排序树等特殊的二叉树。

二叉树的存储

根据定义，二叉树是特殊类型的树，因此可以使用树的存储方式来存储二叉树。在此基础上，标记左右子树即可。

• 比如使用vector数组存储时，先尾插左孩子再尾插右孩子。这样输出时，就可以按照左孩子、右孩子的顺序输出。
• 比如使用链式前向星存储时，先头插左孩子再头插右孩子。注意，此时将会按照右孩子、左孩子的顺序输出。

但是，由于二叉树结构的特殊性，我们可以使用更符合其特性的存储方式：顺序存储和链式存储。

顺序存储

顺序存储是指使用数组来存储二叉树。对于完全二叉树，我们可以使用数组来存储。并且此时可以利用下标来计算左右孩子和父亲：

如果父存在，其下标为i/2；
如果左孩子存在，其下标为2i；
如果右孩子存在，其下标为2i+1；

当然，非完全二叉树也可以使用顺序存储，但是此时需要补全空结点，使其变为完全二叉树。

再来考虑其最差情况：如果是右斜树即每一个结点只有右孩子，存在4个结点，那么此时需要使用大小为2⁴ - 1的数组来存储。会造成存储空间的极大浪费。因此，顺序存储一般只适用于完全二叉树或者满二叉树。

链式存储

在竞赛中，我们这里的链式存储依然是静态实现。

同时，在竞赛中，给定的树结构通常是有编号的，因此我们可以创建两个数组：l[]用于存储左孩子，r[]用于存储右孩子。其中，l[i]表示结点i的左孩子，r[i]表示结点i的右孩子。

注意，这里的编号是指结点的编号，而不是结点的值。

链式存储的优点是可以存储任意形状的二叉树，并且不需要补全空结点。

题目描述

有一个n（ n <=10⁶ ）个结点的二叉树。给出每个结点的两个孩子结点的编号，建立一颗二叉树（根结点编号为1），求这棵树的深度。

输入描述

第一行一个整数n，表示n个结点。
接下来n行，第i行两个整数l和r，表示第i个结点的左孩子和右孩子的编号。

#include <iostream>
using namespace std;const int N = 1e6 + 10;int l[N],r[N];int main(){int n;cin >> n;for(int i = 1;i <= n;i++){cin >> l[i] >> r[i];}return 0;
}

二叉树的遍历

基于上一章，二叉树同树一样，存在深度优先遍历（DFS）和宽度优先遍历（BFS）两种遍历方式。

深度优先遍历（DFS）

不同于树的深度优先遍历，二叉树的深度优先遍历有三种遍历方式：

• 前序遍历：先序遍历根结点，再先序遍历左子树，最后先序遍历右子树。
• 中序遍历：中序遍历左子树，再中序遍历根结点，最后中序遍历右子树。
• 后序遍历：后序遍历左子树，再后序遍历右子树，最后后序遍历根结点。

简单来说，前序遍历就是按照根、左、右的顺序遍历；中序遍历就是按照左、根、右的顺序遍历；后序遍历就是按照左、右、根的顺序遍历。

再简言之，三种遍历都是从根到子、先左再右的查找顺序之大前提下，前序遍历就是访问到结点就输出；中序遍历先找到并输出左孩子及其子树（子树中依旧先找左孩子及其子树），后输出根结点，最后输出右子树；后序遍历先找到并输出左子树，后找到并输出右子树，最后找全左右孩子及其子树后输出根结点。

另，以上查找孩子及其子树都基于其存在的前提下，注意另外判断，若存在，进行递归查找即可。

题目描述

有一个n（ n <=10^6 ）个结点的二叉树。给出每个结点的两个孩子结点的编号，建立一颗二叉树（根结点编号为1），求这棵树的深度。

输入描述

第一行一个整数n，表示n个结点。
接下来n行，第i行两个整数l和r，表示第i个结点的左孩子和右孩子的编号。

测试用例

测试⼀：
40 23 40 00 0
测试⼆：
22 00 0
测试三：
32 30 00 0
测试四：
72 30 45 60 00 07 00 0

代码实现

#include <iostream>
using namespace std;const int N = 1e6 + 10;int l[N],r[N];/*先序遍历*/
void dfsx(int u){cout << u << " ";if(l[u]) dfsx(l[u]);if(r[u]) dfsx(r[u]);
}/*中序遍历*/
void dfsz(int u){if(l[u]) dfsz(l[u]);cout << u << " ";if(r[u]) dfsz(r[u]);
}/*后序遍历*/
void dfsh(int u){if(l[u]) dfsh(l[u]);if(r[u]) dfsh(r[u]);cout << u << " ";  
}int main(){int n;cin >> n;for(int i = 1;i <= n;i++){cin >> l[i] >> r[i];}dfsx(1);cout << endl;dfsz(1);cout << endl;dfsh(1);cout << endl;return 0;
}

我们注意到，二叉树中不同于一般的树，没有存储父结点的信息，因此在遍历过程中，不需要另外数组进行标记是否访问过。

宽度优先遍历（BFS）

宽度优先遍历与常规树的宽度优先遍历相同，直接利用队列即可。

#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;const int N = 1e6 + 10;int l[N],r[N];void bfs(int u){queue<int> q;q.push(u);while(q.size()){int t = q.front();q.pop();cout << t << " ";if(l[t]) q.push(l[t]); if(r[t]) q.push(r[t]);}  
}int main(){int n;cin >> n;for(int i = 1;i <= n;i++){cin >> l[i] >> r[i];}bfs(1);cout << endl;return 0; 
}