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wzjs 2025/8/6 9:08:08

公司的网站建设与维护,学生个人网页制作html,原生多重筛选插件wordpress,wordpress小程序模版本文涉及知识点【矩阵快速幂】封装类及测试用例及样例 P3702 [SDOI2017] 序列计数题目描述 Alice 想要得到一个长度为 n n n 的序列，序列中的数都是不超过 m m m 的正整数，而且这 n n n 个数的和是 p p p 的倍数。 Alice 还希望，这…

本文涉及知识点

【矩阵快速幂】封装类及测试用例及样例

P3702 [SDOI2017] 序列计数

题目描述

Alice 想要得到一个长度为 $n$ 的序列，序列中的数都是不超过 $m$ 的正整数，而且这 $n$ 个数的和是 $p$ 的倍数。

Alice 还希望，这 $n$ 个数中，至少有一个数是质数。

Alice 想知道，有多少个序列满足她的要求。

输入格式

一行三个数， $n, m, p$ 。

输出格式

一行一个数，满足 Alice 的要求的序列数量，答案对 $20170408$ 取模。

输入输出样例 #1

输入 #1

3 5 3

输出 #1

说明/提示

对 $20\%$ 的数据， $1\leq n,m\leq100$ 。

对 $50\%$ 的数据， $1\leq m \leq 100$ 。

对 $80\%$ 的数据， $1\leq m\leq 10^6$ 。

对 $100\%$ 的数据， $1\leq n \leq 10^9,1\leq m \leq 2\times 10^7,1\leq p\leq 100$ 。

P3702 矩阵指数幂

用静态变量记录[1,2e7]中所有元素是否是质数。注意：细节不好，可能超时。
通过i枚举1到M，如果i是质数cnt[i%P][1]++，如果不是质数cnt[i%p][0]++。

dp[n][p][j] 记录长度为n，和%P为p的方案数，j表示是否包括质数。
k= Pj+p ，dp降维为dp[n][k]。
pre=dp[n],cur=dp[n+1] ,pre $\times$ mat=cur,求mat
第一层枚举k=0 to P 第二层枚举 k1 = 0 to P
k2 = (k+k1)%P
dp[k][k2] += cnt[k1][0]
dp[k][k2+P] += cnt[k1][1]
dp[k+P][k2+P] += cnt[k1][0] + cnt[k1][1]
初始化：pre[0]=1，其它全为0。
ans = prematⁿ
ans[P…2P-1]之和便答案。
时间复杂度：O(ppplogn) 很可能超时。
解决方法：至少一个质数的方案=所有方案-不包括质数的方案。
所有方案的矩阵为mat1,包括质数的方案矩阵为mat2:
第一层枚举k=0 to P 第二层枚举 k1 = 0 to P
mat1[k][(k+k1)%P] += cnt[k1][0] +cnt[k1][1]
mat2[k][(k+k1)%P] += cnt[k1][0]

代码

核心代码

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>
#include <array>#include <bitset>
using namespace std;template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {in >> pr.first >> pr.second;return in;
}template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);return in;
}template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);return in;
}template<class T = int>
vector<T> Read() {int n;scanf("%d", &n);vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> ret[i];}return ret;
}template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> ret[i];}return ret;
}template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:COutBuff() {m_p = puffer;}template<class T>void write(T x) {int num[28], sp = 0;if (x < 0)*m_p++ = '-', x = -x;if (!x)*m_p++ = 48;while (x)num[++sp] = x % 10, x /= 10;while (sp)*m_p++ = num[sp--] + 48;AuotToFile();}void writestr(const char* sz) {strcpy(m_p, sz);m_p += strlen(sz);AuotToFile();}inline void write(char ch){*m_p++ = ch;AuotToFile();}inline void ToFile() {fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);m_p = puffer;}~COutBuff() {ToFile();}
private:inline void AuotToFile() {if (m_p - puffer > N - 100) {ToFile();}}char  puffer[N], * m_p;
};template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:inline CInBuff() {}inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {FileToBuf();ch = *S++;return *this;}inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {FileToBuf();int x(0), f(0);while (!isdigit(*S))f |= (*S++ == '-');while (isdigit(*S))x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行		return *this;}inline CInBuff& operator>>(long long& val) {FileToBuf();long long x(0); int f(0);while (!isdigit(*S))f |= (*S++ == '-');while (isdigit(*S))x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行return *this;}template<class T1, class T2>inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {*this >> val.first >> val.second;return *this;}template<class T1, class T2, class T3>inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);return *this;}template<class T1, class T2, class T3, class T4>inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);return *this;}template<class T = int>inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {int n;*this >> n;val.resize(n);for (int i = 0; i < n; i++) {*this >> val[i];}return *this;}template<class T = int>vector<T> Read(int n) {vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {*this >> ret[i];}return ret;}template<class T = int>vector<T> Read() {vector<T> ret;*this >> ret;return ret;}
private:inline void FileToBuf() {const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);if (canRead >= 100) { return; }if (m_bFinish) { return; }for (int i = 0; i < canRead; i++){buffer[i] = S[i];//memcpy出错			}m_iWritePos = canRead;buffer[m_iWritePos] = 0;S = buffer;int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }m_iWritePos += readCnt;buffer[m_iWritePos] = 0;S = buffer;}int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;char buffer[N + 10], * S = buffer;
};template<class T = long long>
class CMatMul
{
public:CMatMul(T llMod = 1e9 + 7) :m_llMod(llMod) {}// 矩阵乘法vector<vector<T>> multiply(const vector<vector<T>>& a, const vector<vector<T>>& b) {const int r = a.size(), c = b.front().size(), iK = a.front().size();assert(iK == b.size());vector<vector<T>> ret(r, vector<T>(c));for (int i = 0; i < r; i++){for (int j = 0; j < c; j++){for (int k = 0; k < iK; k++){ret[i][j] = (ret[i][j] + a[i][k] * b[k][j]) % m_llMod;}}}return ret;}// 矩阵快速幂vector<vector<T>> pow(const vector<vector<T>>& a, vector<vector<T>> b, T n) {vector<vector<T>> res = a;for (; n; n /= 2) {if (n % 2) {res = multiply(res, b);}b = multiply(b, b);}return res;}vector<vector<T>> pow(vector<vector<T>> pre, vector<vector<T>> mat, const string& str){for (int i = str.length() - 1; i >= 0; i--) {const int t = str[i] - '0';pre = pow(pre, mat, t);mat = pow(mat, mat, 9);}return pre;}vector<vector<T>> TotalRow(const vector<vector<T>>& a){vector<vector<T>> b(a.front().size(), vector<T>(1, 1));return multiply(a, b);}
protected:const  T m_llMod;
};class CCreatePrime {
public:CCreatePrime(int iMax) :m_isPrime(iMax + 1, true){m_isPrime[0] = m_isPrime[1] = false;for (int i = 2; i <= iMax; i++){if (m_isPrime[i]){m_vPrime.emplace_back(i);}for (const auto& n : m_vPrime){if ((long long)n * i > iMax) { break; }m_isPrime[n * i] = false;if (0 == i % n) { break; }}}}vector<int> m_vPrime;vector<bool> m_isPrime;
};class Solution {
public:int Ans(int n, int m, int p) {static const auto v = CCreatePrime(2e7).m_isPrime;vector<vector<int>> cnt(2, vector<int>(p));for (int i = 1; i <= m; i++) {cnt[0][i % p]++;if (!v[i]) { cnt[1][i % p]++; }}vector<vector<long long>> mat1(p, vector<long long>(p));auto mat2 = mat1;for (int k = 0; k < p; k++) {for (int k1 = 0; k1 < p; k1++) {const int k2 = (k + k1) % p;mat1[k][k2] += cnt[0][k1];mat2[k][k2] += cnt[1][k1];}}const int MOD = 20170408;CMatMul<> matMul(MOD);vector<vector<long long>> pre(1, vector<long long>(p));pre[0][0] = 1;auto ans1 = matMul.pow(pre, mat1, n);auto ans2 = matMul.pow(pre, mat2, n);auto ans = (MOD + ans1[0][0] - ans2[0][0]) % MOD;return ans;}
};int main() {
#ifdef _DEBUGfreopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG	ios::sync_with_stdio(0);int n,m,p;cin >> n >> m >> p ;auto res = Solution().Ans(n,m,p);cout <<res << "\n";#ifdef _DEBUG		//printf("start=%d,end=%d,T=%d", start,end,T);//Out(edge, "edge=");//Out(fish, ",fish=");/*Out(edge, "edge=");Out(que, "que=");*/
#endif // DEBUG	return 0;
}

单元测试

TEST_METHOD(TestMethod1){auto res = Solution().Ans(3,5,3);AssertEx(33, res);}

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子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
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失败+反思=成功成功+反思=成功