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数据的模型分析及可视化

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7.1 线性相关分析

7.1.1 线性相关基础

核心概念：
线性相关描述两个定量变量间线性关系的方向和强度，通过 Pearson 相关系数 ( r ) 度量（( r \in [-1, 1] )）：

• 完全正相关（( r=1 )）：变量严格同向变化（如 ( y = x )）
• 完全负相关（( r=-1 )）：变量严格反向变化（如 ( y = -x )）
• 无线性相关（( r=0 )）：变量间无直线关系

适用条件：

1. 变量为定量数据（如身高、体重）
2. 双变量正态分布假设
3. 散点图显示线性趋势

7.1.2 相关关系模拟与可视化

数据生成逻辑：
通过控制自变量 ( x ) 和随机误差 ( e \sim N(0, 1) ) 生成不同相关关系的因变量 ( y )：

• 含噪声正相关：( y = x + e )
• 含噪声负相关：( y = -x + e )

代码实现（模拟数据散点图）：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltx = np.linspace(-4, 4, 20)
np.random.seed(1)
e = np.random.randn(20)
y_positive = x + e  # 正相关数据
y_negative = -x + e  # 负相关数据plt.figure(figsize=(12, 4))
plt.subplot(121)
plt.scatter(x, y_positive, label=f'正相关 (r={np.corrcoef(x, y_positive)[0,1]:.2f})')
plt.subplot(122)
plt.scatter(x, y_negative, label=f'负相关 (r={np.corrcoef(x, y_negative)[0,1]:.2f})')
plt.legend()
plt.show()

7.1.3 相关系数计算方法

公式与含义

Pearson 相关系数计算公式：

• 分子：协方差（Covariance），反映变量协同变化程度
• 分母：标准差乘积，用于标准化

Python 实现

1. 单变量相关系数：

   import pandas as pd
   BS = pd.read_excel('DaPy_data.xlsx', 'BSdata')
   r = BS['身高'].corr(BS['体重'])  # 计算身高与体重的相关系数
   print(f"身高与体重相关系数：{r:.4f}")  # 输出约 0.7521
   

2. 相关系数矩阵：

   correlation_matrix = BS[['身高', '体重', '支出']].corr()  # 生成多变量相关矩阵
   print(correlation_matrix)
   

3. 矩阵散点图：

   import seaborn as sns
   sns.pairplot(BS[['身高', '体重', '支出']], diag_kind='hist', plot_kws={'alpha': 0.6})
   

7.1.4 相关系数显著性检验

检验步骤：

1. 假设：

   • 原假设 ( H_0 )：总体相关系数 ( \rho = 0 )
   • 备择假设 ( H_1 )：( \rho \neq 0 )

2. 统计量：
   

   通过 t 检验判断 ( r ) 是否显著非零（p < 0.05 时拒绝 ( H_0 )）

代码示例：

import scipy.stats as st# 检验身高与支出的相关性
r, p_value = st.pearsonr(BS['身高'], BS['支出'])
print(f"相关系数：{r:.4f}, p值：{p_value:.4f}")
# 若 p_value < 0.05，说明相关性显著

7.2 简单线性回归模型

7.2.1 模型构建与原理

数学模型：

• ( \beta_0 )：截距项（X=0时Y的理论值）
• ( \beta_1 )：回归系数（X每增加1单位，Y平均变化量）
• ( \epsilon )：随机误差（服从正态分布）

拟合方法：
最小二乘法（OLS）：通过最小化残差平方和 ( \sum (y_i - \hat{y}_i)^2 ) 估计 ( \beta_0 ) 和 ( \beta_1 )

7.2.2 模型拟合与可视化

步骤解析：

1. 散点图观察：

   plt.scatter(BS['身高'], BS['体重'], alpha=0.6, label='观测值')
   plt.xlabel('身高 (cm)'); plt.ylabel('体重 (kg)')
   

2. 模型拟合：

   import statsmodels.api as sm
   X = sm.add_constant(BS['身高'])  # 添加截距项（常数项）
   y = BS['体重']
   model = sm.OLS(y, X).fit()  # 最小二乘估计
   print(f"截距 β₀：{model.params[0]:.2f}，斜率 β₁：{model.params[1]:.2f}")
   

3. 回归线绘制：

   y_pred = model.fittedvalues  # 获取预测值
   plt.plot(BS['身高'], y_pred, 'r-', linewidth=2, label=f'回归直线：y = {model.params[0]:.2f} + {model.params[1]:.2f}x')
   plt.legend()
   

7.2.3 模型检验与解释

系数显著性检验

指标	含义	解读
t 值	系数与0的差异显著性（t=系数/标准误）
p 值	拒绝原假设的概率	p < 0.05 时系数显著非零
置信区间	系数的95%可信范围	不包含0则支持变量相关性

代码输出：

print(model.summary().tables[1])  # 查看回归系数检验表

模型整体拟合度

• R²（决定系数）：
  取值范围 [0, 1]，表示模型解释因变量变异的比例。

  print(f"R²：{model.rsquared:.4f}")  # 如 0.5663，说明身高解释了体重56.63%的变异
  

• F 检验：
  检验模型整体显著性，F值越大、p值越小，说明模型中至少有一个自变量显著。

7.2.4 回归预测应用

点预测示例：

# 预测身高175cm的体重（需包含截距项的常数1）
new_data = pd.DataFrame({'const': 1, '身高': [175]})
predicted_weight = model.predict(new_data)
print(f"预测体重：{predicted_weight[0]:.1f} kg")

7.3 分组对比分析与可视化

7.3.1 分组数据准备

按性别分组：

BS_male = BS[BS['性别'] == '男'][['身高', '体重']]  # 筛选男生数据
BS_female = BS[BS['性别'] == '女'][['身高', '体重']]  # 筛选女生数据

7.3.2 分组相关分析

男生组：

# 相关系数与显著性检验
r_male, p_male = st.pearsonr(BS_male['身高'], BS_male['体重'])
print(f"男生相关系数：{r_male:.4f}，p值：{p_male:.4f}")# 联合图（散点图+直方图）
import seaborn as sns
sns.jointplot(x='身高', y='体重', data=BS_male, kind='scatter', color='blue')

女生组：

r_female, p_female = st.pearsonr(BS_female['身高'], BS_female['体重'])
sns.jointplot(x='身高', y='体重', data=BS_female, kind='kde', color='pink')  # 密度估计图

7.3.3 分组回归模型对比

回归系数对比：

# 男生回归模型（公式接口更简洁）
import statsmodels.formula.api as smf
model_male = smf.ols('体重 ~ 身高', data=BS_male).fit()
print("男生斜率（身高每增1cm，体重平均变化）：", model_male.params['身高'])  # 如 0.88 kg# 女生回归模型
model_female = smf.ols('体重 ~ 身高', data=BS_female).fit()
print("女生斜率：", model_female.params['身高'])  # 如 0.72 kg

可视化对比（分性别回归线）：

# 使用 plotnine 绘制分面回归图（支持中文）
from plotnine import *
theme_set(theme_bw(base_family='SimSun'))  # 设置中文字体(ggplot(BS, aes('身高', '体重'))+ geom_point(alpha=0.6)  # 绘制原始数据点+ facet_wrap('性别')  # 按性别分组显示+ stat_smooth(method='lm', se=True, color='red')  # 添加回归线及置信带
)

总结

核心内容回顾

1. 线性相关分析：

   • 用 Pearson 相关系数 ( r ) 量化线性关系，范围 ([-1, 1])，结合散点图和 t 检验验证显著性。
   • 注意数据需为定量变量，且满足线性趋势和正态分布假设。

2. 简单线性回归：

   • 建立 ( Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon ) 模型，通过最小二乘法拟合，用 R² 评估解释力，t 检验判断系数显著性。
   • 预测时需注意自变量范围，避免过度外推。

3. 分组对比分析：

   • 按类别（如性别）分组后，分别计算相关系数和回归模型，揭示不同群体的差异。
   • 利用联合图、分面图等可视化工具清晰展示分组结果。