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在算法的世界里，动态规划（DP）一直是解决最优化问题的利器。而状态压缩动态规划（State Compression DP），作为动态规划的进阶技巧，更是以其独特的“二进制魔法”，为处理组合优化问题开辟了一条高效之路。本文将带你深入探索状态压缩DP的奥秘，结合经典案例与代码实现，揭开它神秘的面纱。
一、什么是状态压缩动态规划？
动态规划的核心在于将问题分解为子问题，并通过记录子问题的解来避免重复计算。而状态压缩动态规划，则是在这一基础上，针对集合类问题进行优化。当问题涉及到对一个小规模集合（通常元素个数n ≤ 20）的所有子集进行枚举和决策时，我们可以利用二进制数将集合状态压缩成一个整数，每一位代表一个元素的存在与否（1表示存在，0表示不存在），从而高效地进行状态表示和转移。
例如，对于一个包含4个元素的集合{a, b, c, d}，二进制数1011就表示子集{a, c, d}，其中第0、2、3位为1，对应元素a、c、d被选中。这种用二进制压缩状态的方式，极大地简化了集合操作，让我们可以通过位运算快速枚举子集、计算状态转移。
二、状态压缩DP的核心要素
1. 状态定义
- 核心数组：通常定义一个数组（如
dp[mask]），其中mask是二进制数，表示集合状态。dp[mask]记录状态mask下的最优值（如最小代价、最大收益）。 - 扩展形式：有时会增加维度，例如
dp[mask][i]，表示集合状态为mask且最后一个元素为i时的最优值。
2. 位运算技巧
位运算是状态压缩DP的“灵魂”，常用操作如下：
- 检查元素是否在集合中：
mask & (1 << i)，若结果不为0，则元素i在集合中。 - 添加元素到集合：
mask | (1 << i)，将元素i加入集合。 - 移除元素：
mask & ~(1 << i)，从集合中删除元素i。 - 枚举子集：
for (int sub = mask; sub > 0; sub = (sub - 1) & mask) {// 处理子集sub
}
3. 状态转移
- 正向转移：从已知状态
dp[mask]出发，通过添加或修改元素，更新到新状态dp[newMask]。 - 反向转移：从目标状态
dp[mask]出发，由所有可能的前驱状态dp[oldMask]推导而来。
4. 初始化与结果计算
- 初始化：根据问题设定边界条件，例如
dp[0] = 0表示空集状态。 - 结果提取：遍历所有合法状态，找到满足条件的最优解。
三、经典案例解析
案例1：旅行商问题（TSP）
问题描述：一个商人需要访问n个城市，每个城市之间有一个距离，求从起点出发，经过每个城市恰好一次并返回起点的最短路径。
状态定义：dp[mask][i]表示经过集合mask中的城市，当前位于城市i的最短路径长度。
状态转移方程：
for (int mask = 1; mask < (1 << n); mask++) {for (int i = 0; i < n; i++) {if (!(mask & (1 << i))) continue; // i不在mask中for (int j = 0; j < n; j++) {if (i == j || !(mask & (1 << j))) continue; // j不在mask中dp[mask][i] = min(dp[mask][i], dp[mask ^ (1 << i)][j] + dist[j][i]);}}
}
时间复杂度：O(2^n × n^2)
暴力做法是枚举所有排列，对每个排列计算和题目有关的值，时间复杂度（通常来说）是 O(n!)。可以解决 n≤10 的问题。
状压 DP 可以把时间复杂度（通常来说）优化至 O(n*2^ n )。可以解决 n≤20 的问题。
案例2：集合覆盖问题
问题描述：给定n个元素和m个可选集合，每个集合包含部分元素，求覆盖所有元素的最小集合数量。
状态定义：dp[mask]表示覆盖集合mask所需的最小集合数量。
状态转移方程：
for (int i = 0; i < m; i++) { // m个可选集合int subset = 集合i的元素掩码;for (int mask = (1 << n) - 1; mask >= 0; mask--) {dp[mask | subset] = min(dp[mask | subset], dp[mask] + 1);}
}
时间复杂度：O(m × 2^n)
状压 DP 可以把时间复杂度（通常来说）优化至 O(n*2^ n )。可以解决 n≤20 的问题。
四、应用场景与实战建议
状态压缩DP适用于以下场景：
- 棋盘类问题：如八皇后问题、铺瓷砖问题。
- 资源分配问题：在有限资源下分配任务或设备。
- 图论中的子集问题：如最小路径覆盖、最大团问题。
实战建议：
- 状态设计：优先考虑用二进制表示集合，避免冗余状态。
- 剪枝优化：通过预处理合法状态或转移条件，减少无效计算。
- 空间优化：若状态转移仅依赖前一阶段，可使用滚动数组压缩空间。
五、总结
状态压缩动态规划是算法竞赛和实际问题中解决组合优化的强大工具。通过二进制压缩状态，结合位运算和动态规划思想，它能高效处理小规模集合的复杂决策问题。掌握这一技巧，不仅能提升算法能力，更能锻炼对问题抽象建模的思维。