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在 C++ 中，向下取整 和 向上取整 是二分法中常见的两种计算中间值的方式。它们的选择会影响二分法的行为，尤其是在区间划分和边界条件处理上。以下是它们的区别、使用场景和特点：
目录
1. 向下取整
2. 向上取整
3. 区别对比
4. 使用场景示例
向下取整（标准二分查找）
向上取整（偏向右侧划分）
5. 如何选择？
向下取整：
二分法通常采用向下取整的原因主要有以下几点：
向上取整：
6. 总结
1. 向下取整
-
定义：
向下取整是指计算中间值时，结果向较小的整数方向取整。例如，(left + right) / 2或left + (right - left) / 2。 -
特点：
-
结果是区间中靠左的中间值。
-
适合大多数二分查找问题。
-
在区间缩小到两个元素时，向下取整会选择左元素，避免重复选择右元素。
-
-
使用场景：
-
标准二分查找。
-
区间更新方式为
left = mid + 1和right = mid时。 -
需要避免无限循环的情况。
-
-
示例：
int mid = left + (right - left) / 2; // 向下取整
2. 向上取整
-
定义：
向上取整是指计算中间值时，结果向较大的整数方向取整。例如，left + (right - left + 1) / 2。 -
特点：
-
结果是区间中靠右的中间值。
-
适合需要偏向右侧划分区间的情况。
-
在区间缩小到两个元素时，向上取整会选择右元素，避免重复选择左元素。
-
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使用场景：
-
区间更新方式为
left = mid和right = mid - 1时。 -
需要快速缩小区间右侧的情况。
-
某些特定问题（如浮点数二分、边界条件处理）。
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示例：
int mid = left + (right - left + 1) / 2; // 向上取整
3. 区别对比
| 特性 | 向下取整 | 向上取整 |
|---|---|---|
| 计算方式 | mid = left + (right - left) / 2 | mid = left + (right - left + 1) / 2 |
| 中间值位置 | 靠左 | 靠右 |
| 适用区间更新 | left = mid + 1, right = mid | left = mid, right = mid - 1 |
| 避免循环 | 避免重复选择右元素 | 避免重复选择左元素 |
| 常见场景 | 标准二分查找 | 偏向右侧划分区间 |
4. 使用场景示例
向下取整（标准二分查找）
int binarySearch(const vector<int>& nums, int target) {int left = 0, right = nums.size() - 1;while (left <= right) {int mid = left + (right - left) / 2; // 向下取整if (nums[mid] == target) {return mid;} else if (nums[mid] < target) {left = mid + 1; // 缩小左区间} else {right = mid - 1; // 缩小右区间}}return -1; // 未找到目标值
}向上取整（偏向右侧划分）
int binarySearchRight(const vector<int>& nums, int target) {int left = 0, right = nums.size() - 1;while (left < right) {int mid = left + (right - left + 1) / 2; // 向上取整if (nums[mid] <= target) {left = mid; // 缩小右区间} else {right = mid - 1; // 缩小左区间}}return left; // 返回目标值的右边界
}5. 如何选择？
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向下取整：
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当区间更新为
left = mid + 1和right = mid时使用。 -
适合大多数标准二分查找问题。
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二分法通常采用向下取整的原因主要有以下几点：
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避免无限循环
在二分查找中，如果使用向上取整，当区间缩小到两个元素时，可能会重复选择上界，导致无法缩小范围，形成无限循环。向下取整则能确保每次迭代区间都会缩小，避免这种情况。
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保持一致性
向下取整在大多数编程语言中是默认的整数除法行为，使用它可以减少额外的取整操作，保持代码简洁和一致性。
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边界条件处理
向下取整能更自然地处理边界条件，尤其是在数组或列表的索引操作中，确保索引不会超出范围。 -
算法终止
向下取整能保证区间不断缩小，最终收敛到目标值或确定其不存在，确保算法在有限步骤内终止。 -
实现简单
向下取整的实现通常更简单，计算效率也更高，适合在二分查找等需要频繁计算中间值的场景中使用。
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向上取整：
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当区间更新为
left = mid和right = mid - 1时使用。 -
适合需要偏向右侧划分区间的情况。
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6. 总结
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向下取整是默认选择，适合大多数二分查找问题，特点是中间值靠左，避免重复选择右元素。
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向上取整用于特定场景，特点是中间值靠右，避免重复选择左元素。
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选择的关键在于区间更新方式和问题需求，确保区间能正确缩小且不会陷入无限循环。