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滑动窗口题解

题目传送门：
AcWing 154. 滑动窗口

题目描述

给定一个大小为 n ≤ 10^6 的数组和一个大小为 k 的滑动窗口，窗口从数组最左端移动到最右端。要求输出窗口在每个位置时的最小值和最大值。

样例解释：
输入数组为 [1 3 -1 -3 5 3 6 7]，k=3
输出：
最小值序列：-1 -3 -3 -3 3 3
最大值序列：3 3 5 5 6 7

题目分析

这是一个典型的滑动窗口问题，需要在O(n)时间复杂度内解决。直接暴力求解对于每个窗口遍历k个元素的话，时间复杂度会是O(nk)，对于n=1e6来说不可接受。

解题思路

使用单调队列来优化：

1. 最小值：维护一个单调递增队列，队首元素即为当前窗口最小值
2. 最大值：维护一个单调递减队列，队首元素即为当前窗口最大值

算法讲解

1. 队列中存储的是数组元素的下标而非值本身，这样可以方便判断元素是否在窗口内
2. 每次移动窗口时：
   • 先检查队首元素是否还在窗口内，不在则弹出
   • 然后从队尾开始，删除所有不满足单调性的元素
   • 最后将当前元素加入队列
3. 当窗口形成后（i≥k时），输出队首元素

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// #define int long long
const int N = 1e6 + 10;
int n, k;
int a[N];
int q[N];  // 队列存的是下标void solve()
{cin >> n >> k;for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> a[i];// 找每个窗口的最小值int tt = -1, hh = 0;  // 初始化队列for (int i = 1; i <= n; i++){// 维护队列中的元素在窗口范围内while (hh <= tt && i - k + 1 > q[hh])  // 队首元素不在窗口内hh++;// 维护单调递增队列while (hh <= tt && a[q[tt]] >= a[i])  // 队尾元素大于等于当前元素tt--;  q[++tt] = i;  // 将当前元素下标加入队列if (i >= k)  // 窗口形成后才输出cout << a[q[hh]] << " ";}cout << "\n";// 找每个窗口的最大值tt = -1, hh = 0;  // 重置队列for (int i = 1; i <= n; i++){// 维护队列中的元素在窗口范围内while (hh <= tt && i - k + 1 > q[hh])hh++;// 维护单调递减队列while (hh <= tt && a[q[tt]] <= a[i])tt--;q[++tt] = i;if (i >= k)cout << a[q[hh]] << " ";}
}int main()
{ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);solve();return 0;
}

重点细节

1. 队列存储的是下标：这样可以方便判断元素是否还在窗口内
2. 双条件while循环：
   • 第一个while保证队首元素在窗口内
   • 第二个while维护队列的单调性
3. 窗口形成条件：只有当i≥k时才输出结果
4. 队列初始化：每次处理前需要重置队列指针

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)，每个元素最多入队和出队一次
• 空间复杂度：O(n)，用于存储队列

总结

单调队列是解决滑动窗口极值问题的高效方法，关键在于：

1. 维护队列的单调性
2. 及时移除不在窗口内的元素
3. 理解队列中存储下标而非值的好处

本题的经典解法值得熟练掌握，类似的滑动窗口问题都可以考虑使用单调队列优化。