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TSP问题的贪心算法还可以采用最短链接策略：每次选择最短边加入到解集合，但是要保证加入解集合的边最终形成一个哈密顿回路。请说明从剩余边集选择一条边(u, v)加入解结合S，应满足什么条件，设计算法并编程实现。

输入格式:

输入n+1行，第一行为城市的个数（小于10个）；以下n行为代价矩阵，不可达的代价用999表示。

输出格式:

输出若干行，前面每一行为路径上的一条边及权值（边和权值之间以两个短横线间隔），最后一行为最小代价值。

输入样例:

5
999 3 3 2 6
3 999 7 3 2
3 7 999 2 5
2 3 2 999 3
6 2 5 3 999

输出样例:

(v1,v4)--2
(v3,v4)--2
(v2,v5)--2
(v1,v2)--3
(v3,v5)--5
14

 

问题分析

对于TSP问题，准确的解法需要遍历所有可能的路径，时间复杂度为O(n!)，这在实际应用中往往是不可行的。因此，我们常常采用近似算法，如贪心算法，来获得一个较好的解。

本题采用贪心算法中的最短链接策略：每次选择当前最短的边加入解集合，但要确保最终能形成哈密顿回路。

加入边的条件

从剩余边集选择一条边(u, v)加入解集合S时，应满足以下条件：

1. 度数限制：每个顶点的度数不能超过2（因为在哈密顿回路中，每个顶点恰好有两条边相连）
2. 无环约束：加入边(u, v)不会在当前解集合中形成环，除非这是最后一条边且能形成哈密顿回路
3. 连通性：解集合中的边最终能形成一个连通图

具体来说，对于一条边(u, v)，如果满足以下条件，我们就可以将其加入解集合：

• 顶点u和顶点v的度数都小于2

• 加入边(u, v)不会提前形成环（使用并查集检测）

• 对于最后一条边，必须连接两个度数为1的顶点，以形成哈密顿回路

解题思路

1. 将所有可行的边按权重从小到大排序
2. 使用贪心策略，每次选择权重最小的边加入解集合，但要满足上述条件
3. 使用并查集来检测是否会形成环
4. 记录每个顶点的度数，确保不超过2
5. 最后一条边需要特殊处理，确保形成哈密顿回路

算法的核心部分：

• 如果已经选择了n-1条边，那么下一条边就是最后一条边，需要特殊处理

• 对于最后一条边，需要确保它连接两个度数为1的顶点，形成哈密顿回路

• 对于其他边，需要确保两个顶点的度数都小于2，并且不会形成环

 代码实现：
 

import java.util.*;public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);int n = sc.nextInt();int[][] cost = new int[n][n];for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {cost[i][j] = sc.nextInt();}}List<Edge> edges = new ArrayList<>();for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = i + 1; j < n; j++) {//过滤不可达的边if (cost[i][j] != 999) {edges.add(new Edge(i, j, cost[i][j]));}}}//按权重排序edges.sort(Comparator.comparingInt(e -> e.weight));// 记录每个顶点的度数int[] degree = new int[n];// 初始化并查集int[] parent = new int[n];for (int i = 0; i < n; i++) {parent[i] = i;}//存储选中的边List<Edge> selectedEdges = new ArrayList<>();int totalCost = 0;for (Edge edge : edges) {if (selectedEdges.size() == n - 1) {// 特殊处理最后一条边：必须连接两个度数为1的顶点if (degree[edge.u] == 1 && degree[edge.v] == 1) {selectedEdges.add(edge);totalCost += edge.weight;break;}} else {if (degree[edge.u] < 2 && degree[edge.v] < 2) {int rootU = find(parent, edge.u);int rootV = find(parent, edge.v);//避免提前形成环if (rootU != rootV) {join(parent, edge.u, edge.v);degree[edge.u]++;degree[edge.v]++;selectedEdges.add(edge);totalCost += edge.weight;}}}}for (Edge edge : selectedEdges) {System.out.printf("(v%d,v%d)--%d\n", edge.u + 1, edge.v + 1, edge.weight);}System.out.println(totalCost);}// 并查集static int find(int[] parent, int x) {return parent[x] == x ? x : (parent[x] = find(parent, parent[x]));}static void join(int[] parent, int x, int y) {x = find(parent, x);y = find(parent, y);if (x!= y) {parent[x] = y;}}//自定义边类static class Edge {int u, v, weight;Edge(int u, int v, int weight) {this.u = u;this.v = v;this.weight = weight;}}
}