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线性代数基础
一、矩阵
（一）矩阵的基本运算
（二）矩阵的性质
二、n维向量与向量空间
三、线性方程组
（一）解的情况
（二）求解方法
四、矩阵的特征值与二次型
一、矩阵
矩阵是一个矩形阵列，由数字、符号或表达式排列而成，用于表示线性变换、方程组等。
（一）矩阵的基本运算
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加法与减法：同型矩阵才能相加减，操作为对应位置元素相加减。
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数乘：矩阵的每个元素分别乘以常数。
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乘法：矩阵相乘需前矩阵列数等于后矩阵行数，结果矩阵行数为前矩阵行数，列数为后矩阵列数。
（二）矩阵的性质
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转置：将矩阵的行列互换，
。 -
行列式：仅定义于方阵，反映矩阵缩放因子。
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秩：矩阵线性无关的行数或列数。
二、n维向量与向量空间
n维向量是n个实数的有序数组，用于表示几何向量或多维数据。
向量空间是一个向量集合，对加法和数乘封闭，需满足以下公理：
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封闭性：向量相加和数乘仍在空间内。
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零向量存在性：存在零向量使任意向量加零向量不变。
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逆向量存在性：每个向量都有逆向量，相加为零向量。
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线性组合与基：向量空间的基是一组线性无关向量，可表示空间中所有向量。
三、线性方程组
线性方程组由多个线性方程组成，用于求解多个变量的值。
矩阵形式为 Ax=b，其中A是系数矩阵，x是变量向量，b是常数项向量。
（一）解的情况
（二）求解方法
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高斯消元法：通过初等行变换将矩阵化为阶梯形，回代求解。
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矩阵求逆法：当A可逆时，x=A−1b。
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克莱姆法则：适用于方程个数与变量个数相同的线性方程组。
四、矩阵的特征值与二次型
矩阵的特征值和特征向量用于分析矩阵的性质和行为。
设A是n阶方阵，若存在标量λ和非零向量x，使得 Ax=λx，则λ是A的特征值，x是对应的特征向量。
二次型是一个二次多项式，表示为
，其中A是对称矩阵，x是n维向量。
通过正交变换将二次型化为标准形，形式为 
，其中λi是矩阵A的特征值。