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四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 互相垂直, 点 $M$, $N$ 在直线 $BD$ 上, 且关于直线 $AC$ 对称. 设点 $M$ 关于直线 $AB$, $BC$ 的对称点分别为 $X$, $Y$, 点 $N$ 关于直线 $CD$, $DA$ 的对称点分别为 $Z$, $W$. 求证: $X$, $Y$, $Z$, $W$ 四点共圆. (《高中数学联赛模拟试题精选》"学数学"系列第5套)

证明:

显然 $AX=AM=AN=AW$, $CY=CM=CN=CZ$, 所以 $X$, $M$, $N$, $W$ 在以 $A$ 为圆心的圆上, $Y$, $M$, $N$, $Z$ 在以 $C$ 为圆心的圆上.

下面证明 $WX$, $ZY$, $DB$ 交于一点.

设 $XW$ 交 $BD$ 于 $V$. 设 $XM$ 交 $AB$ 于 $I$, $WN$ 交 $AD$ 于 $J$. 显然 $XM$ 被 $AB$ 垂直平分, $WN$ 被 $AD$ 垂直平分. 设 $XM$ 与 $NM$ 交于点 $H$.

由梅涅劳斯定理可知: $\frac{HX}{HW}\frac{WN}{XM}=\frac{VN}{VM}$.

其中: $\frac{HX}{HW}=\frac{HN}{HM}=\frac{\sin \angle HMN}{\sin \angle HNM}=\frac{\sin \angle BAC}{\sin \angle DAC}=\frac{\frac{BO}{AB}}{\frac{DO}{AD}}=\frac{BO}{DO}\frac{AD}{AB}$.

$\frac{WN}{XM}=\frac{JN}{MI}=\frac{JN/AO}{MI/AO}=\frac{\frac{DN}{AD}}{\frac{BM}{AB}}=\frac{DN}{BM}\frac{AB}{AD}$.

所以 $\frac{VN}{VM}=\frac{DN}{BM}\frac{BO}{DO}$.

设 $YZ$ 交 $BD$ 于 $V^{\prime }$, 可同理求得 $$\frac{V^{\prime }N}{V^{\prime }M}=\frac{DN}{BM}\frac{BO}{DO}$ $. 所以 $V^{\prime }$ 即为 $V$, $WX$, $ZY$, $DB$ 交于 $V$.

$VX\cdot VW=VM\cdot VN=VY\cdot VZ$, 所以 $X$, $Y$, $Z$, $W$ 共圆.

证毕.