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wzjs 2025/8/4 20:17:11
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      AVL树是一个平衡二叉搜索，相比于红黑树，它更平衡。但是相比于插入删除的操作，红黑树更优。因为旋转有消耗，而红黑树的旋转明显要比AVL树少的多。所以这篇文章给大家带来了平衡二叉树的插入和查找操作，全程动图讲解！千万不要错过！至于删除操以后有机会为大家更新。


         每日一句: 即使道路坎坷不平，车轮也要前进；即使江河波涛汹涌，船只也航行。

目录

  • AVL树的概念
  • AVL树的节点创建
  • AVL类创建
  • AVL树的插入
  • 检查AVL树是否正常
  • 查找值
  • 总结🥳：

AVL树的概念

AVL是一颗平衡二叉搜索树，相比于二叉搜索树。AVL它能始终保持平衡，因为二叉搜索树的缺陷太大。当有序插入数据时，整颗树就会变成一个单链表。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法:当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均
搜索长度。

AVL树需要满足以下两点性质:
1.它的左右子树都是AVL树。
2.每颗子树的高度差(平衡因子)不超过1或者小于-1。

那我们来看看一颗典型的AVL树
在这里插入图片描述

我们可以发现，左边高，它的高度差就是 -1，右边高，高度差就是1。两边一样高，那么高度差就是 0 。所以我们可以用平衡因子，来确定它的一个高度差。这样可以更好的控制它的高度。

AVL树的节点创建

为了更好的控制，我们决定使用三叉链。也就是新增一个parent节点指向自己的父亲，根节点的父亲为空指针。而我们还要一个平衡因子变量，来记录它子树的高度差。left和right指针指向左右两个孩子。这里我们采取key,value模型，所以用pair结构体，作为节点的值。

节点结构体代码：

template<class K,class V>
struct AVLNode
{AVLNode<K, V>* _left;AVLNode<K, V>* _right;AVLNode<K, V>* _parent;int _bf; //平衡因子，记录高度差pair<K, V> _kv; //存储的一对数据//构造函数AVLNode(const pair<K,V>& kv):_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_bf(0) //新增节点肯定是叶子节点，所以高度默认0,_kv(kv){}
};

AVL类创建

只需要一个成员变量 root 来指向整颗树的根即可。构造函数就把root初始化为空。

	template <class K, class V>class AVLTree{typedef AVLNode<K, V> Node;public:AVLTree() :_root(nullptr){}private:Node* _root;//AVL树的根};

AVL树的插入

AVL树的插入，我们要先找到可以插入的位置，然后插入。插入之后我们树的高度可能会发生变化，因此我们需要向上去更新平衡因子。所以我们插入后分多种情况，那就是插入后平衡因子为 0, 1/-1 ，2/-2的情况

插入后平衡因子为0的情况：
插入后平衡因子为0，那么说明在插入之前，这颗树的平衡因子是 -1 或者1，所以在插入之后这棵树的平衡因子变成了0，那么就意味着这棵树已经平衡了，这种情况就不需要做什么事情了。
在这里插入图片描述


插入后平衡因子为1/-1的情况：
如果插入和平衡因子为1或者-1，说明在插入之前这棵树的平衡因子是0。也就是说插入之前这颗树是平衡的，而插入之后，引发了高度变化。所以可能会造成不平衡的情况，这种情况我们需要一种往上更新平衡因子。在更新的过程可能会遇到平衡因子变成 2 或者 -2的情况，这时候就需要发生旋转。

在这里插入图片描述


平衡因子为2/-2的情况：
在插入的过程中，平衡因子可能会出现为2/-2的情况。当平衡因子为1/-1的时候，会一直往上更新，而在更新的过程中就会发生平衡因子为 2/-2的情况，这种情况我们就需要发生旋转。

在这里插入图片描述

假设我们插入一个10，那么10插入的位置应该在 8的右边。
在这里插入图片描述
那么此时 8 的左右子树高度发生了变化，因为插入了一个新节点。如果新增节点在右边，则 平衡因子自减，如果新增节点在右边，则平衡因子自增。所以新增后，平衡因子的变化是。
在这里插入图片描述
也就是，7所在的节点的子树不平衡了，因为它的平衡因子 > 1了。所以此时我们要发生旋转。而旋转有四种情况。


第一种情况，右边一边高

就如上图的情况，7所在节点的右子树右边一边高，所以这时候我们需要左旋转。那么我们假设7节点为parent。7的右节点8为subR，8的左节点为subRL，而7的父节点为parentparent
在这里插入图片描述

左单旋的步骤:
1.让parent的右节点连接subRL
2.subRL的父节点连接parent，如果为空则不连接
3.subR的左节点连接parent
4.parent的父节点连接subR
5.grandparent与subR连接

旋转流程图
在这里插入图片描述
最后，我们会发现parent和subR的平衡因子都变了0。也就意味着这颗子树达到了平衡。
左旋转代码：

		// 左单旋void RotateL(Node* parent){Node* grandparent = parent->_parent;Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;//父亲连接subRLparent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;//subR的左边连接parentsubR->_left = parent;parent->_parent = subR;//grandparent连接subRif (grandparent == nullptr){//grandparent为空，说明parent一开始是根节点_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{//如果parent一开是grandparent的左子树，则grandparent的左子树连接subRif (parent == grandparent->_left)grandparent->_left = subR;elsegrandparent->_right = subR;subR->_parent = grandparent;}//更新平衡因子parent->_bf = subR->_bf = 0;}




第二种情况：左边一边高
左边一边高和右边一边高的思路完全一样。只不过方向反过来。。下面这棵树就是左边一边高，所以我们用右单旋进行调整。
在这里插入图片描述

右单旋的步骤:
1.让parent的左节点连接subLR
2.subLR的父节点连接parent，如果为空则不连接
3.subL的右节点连接parent
4.parent的父节点连接subL
5.grandparent与subL连接

右单旋旋转动图:
在这里插入图片描述
右单旋代码：

		//右单旋void RotateR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;Node* grandpraent = parent->_parent;parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;if (grandpraent == nullptr){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if (grandpraent->_left == parent)grandpraent->_left = subL;elsegrandpraent->_right = subL;subL->_parent = grandpraent;}subL->_bf = parent->_bf = 0;}

第三种情况：新节点插入较高左子树的右侧—左右
一边高是直线，曲线就是整棵树是左边高，但是它的孩子却在和它相反的一边。这就意味着这棵树是曲线的，所以单纯的左右旋转无法使它达到平衡。而旋转完后，我们还需要控制平衡因子，控制平衡因子又有三种情况。

情况1.当subL右节点的平衡因子为0时(也就是新增)
在这里插入图片描述

把subL左旋转后
在这里插入图片描述

随后这颗树就变成了左边一边高，我们在把parent右旋转。
在这里插入图片描述

这种情况下，新增节点，subL，parent的平衡因子都变成了0。


情况2.subL的右节点平衡因子为-1时

在这里插入图片描述

和之前一样，先把subL左旋转
在这里插入图片描述

再把parent右旋转
在这里插入图片描述

旋转后
subL的平衡因子为0
subLR的平衡因子为0
parent的平衡因子为1

情况3.subL的右节点平衡因子为1时
在这里插入图片描述

老规矩，把subL进行左单旋

在这里插入图片描述

再把parent右单旋
在这里插入图片描述

旋转后
subL的平衡因子为-1
subLR的平衡因子为0
parent的平衡因子为0

左右双旋代码:

	void RotateLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int lrbf = subLR->_bf;//先左旋subLRotateL(subL);//右旋parentRotateR(parent);//保存LR的平衡因子if (lrbf == 0){parent->_bf = subL->_bf = subLR->_bf = 0;}else if (lrbf == -1){subL->_bf = subLR->_bf = 0;parent->_bf = 1;}else if (lrbf == 1){subL->_bf = -1;subLR->_bf = parent->_bf = 0;}elseassert(false);}

第四种情况：新节点插入较高左子树的左侧—右左
这种情况和第三种情况相反，但也另外分了三种情况。

情况1.subRL就是新增节点
在这里插入图片描述

先右旋转subR
在这里插入图片描述
再左旋转parent
在这里插入图片描述
旋转完后，subRL和subR还有parent的平衡因子都为0。

情况2.当在subRL的平衡因子为-1时
在这里插入图片描述
先右单旋subR
在这里插入图片描述
再左单旋parent

在这里插入图片描述
最后的平衡因子分别为:
subRL 0
parent 0
subR 1

情况3.当在subRL的平衡因子为1时
在这里插入图片描述
老规矩，先右旋 subR
在这里插入图片描述

然后左旋转parent
在这里插入图片描述
最后的平衡因子分别是：
parent -1
subRL 0
subR 0

右左双旋代码：

	//右左双旋void RotateRL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int rlbf = subRL->_bf;RotateR(subR);RotateL(parent);if (rlbf == 0){subR->_bf = subRL->_bf = parent->_bf = 0;}else if (rlbf == -1){subRL->_bf = parent->_bf = 0;subR->_bf = 1;}else if (rlbf == 1){parent->_bf = -1;subR->_bf = subRL->_bf = 0;}elseassert(false);}

检查AVL树是否正常

	bool IsBalance(){return _IsBalance(_root);}bool _IsBalance(Node* root){if (root == nullptr)return true;int LeftHeight = _Height(root->_left);int RightHeight = _Height(root->_right);if (root->_bf != RightHeight - LeftHeight){cout << root->_kv._first <<"现在是平衡因子是:" << root->_bf << endl;cout << root->_kv._first <<"平衡因子应该是:" << RightHeight - LeftHeight << endl;}return abs(LeftHeight - RightHeight) < 2;}int _Height(Node* root){if (root == nullptr)return 0;int leftHeight = _Height(root->_left);int rightHeight = _Height(root->_right);return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;}

查找值

直接查找即可

		//查找bool Find(const K& k){if (_root == nullptr)return false;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first > k)cur = cur->_left;else if (cur->_kv.first < k)cur = cur->_right;elsereturn true;}return false;}

全部代码：


template<class K, class V>struct AVLNode{AVLNode<K, V>* _left;AVLNode<K, V>* _right;AVLNode<K, V>* _parent;int _bf; //平衡因子，记录高度差pair<K, V> _kv; //存储的一对数据//构造函数AVLNode(const pair<K, V>& kv):_left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _bf(0) //新增节点肯定是叶子节点，所以高度默认0, _kv(kv) {}};template <class K, class V>class AVLTree{typedef AVLNode<K, V> Node;public:AVLTree() :_root(nullptr){}bool insert(const pair<K,V>& kv){//如果是第一次插入if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* cur = _root; //新增节点的插入位置Node* parent = nullptr; //插入位置的父亲节点while (cur){parent = cur;if (cur->_kv.first > kv.first)//新插节点的值比当前节点小，往左子树找cur = cur->_left;else if (cur->_kv.first < kv.first)cur = cur->_right;elsereturn false; //不允许插入重复值的节点}cur = new Node(kv); //创建新节点cur->_parent = parent; //连接父亲if (cur->_kv.first > parent->_kv.first)parent->_right = cur;elseparent->_left = cur;//节点插入成功，控制平衡因子,父亲为空，则说明调整到根节点了while (parent){if (cur == parent->_right) //插入节点在父亲节点的右边parent->_bf++; //在右边++，在左边--elseparent->_bf--;if (parent->_bf == 0){//平衡因子为0，说明这棵树之前的平衡因子是-1或者1，也就是说插入新节点后变平衡了break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){//父亲的平衡因子是1或者-1，说明插入之前是0，也就是说插入之前是平衡的//插入之后高度发生了变化，所以需要继续往上更新平衡因子cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){//平衡因子为2或者-2，说明这颗树或者子树不平衡了，那么调整这颗树if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)//右边一边高RotateL(parent);else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)//左边一边高RotateR(parent);else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)RotateLR(parent);else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)RotateRL (parent);break;}elseassert(false);}}// 左单旋void RotateL(Node* parent){Node* grandparent = parent->_parent;Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;//父亲连接subRLparent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;//subR的左边连接parentsubR->_left = parent;parent->_parent = subR;//grandparent连接subRif (grandparent == nullptr){//grandparent为空，说明parent一开始是根节点_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{//如果parent一开是grandparent的左子树，则grandparent的左子树连接subRif (parent == grandparent->_left)grandparent->_left = subR;elsegrandparent->_right = subR;subR->_parent = grandparent;}//更新平衡因子parent->_bf = subR->_bf = 0;}//右单旋void RotateR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;Node* grandpraent = parent->_parent;parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;if (grandpraent == nullptr){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if (grandpraent->_left == parent)grandpraent->_left = subL;elsegrandpraent->_right = subL;subL->_parent = grandpraent;}subL->_bf = parent->_bf = 0;}//左右双旋void RotateLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int lrbf = subLR->_bf;//先左旋subLRotateL(subL);//右旋parentRotateR(parent);//保存LR的平衡因子if (lrbf == 0){parent->_bf = subL->_bf = subLR->_bf = 0;}else if (lrbf == -1){subL->_bf = subLR->_bf = 0;parent->_bf = 1;}else if (lrbf == 1){subL->_bf = -1;subLR->_bf = parent->_bf = 0;}elseassert(false);}//右左双旋void RotateRL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int rlbf = subRL->_bf;RotateR(subR);RotateL(parent);if (rlbf == 0){subR->_bf = subRL->_bf = parent->_bf = 0;}else if (rlbf == -1){subRL->_bf = parent->_bf = 0;subR->_bf = 1;}else if (rlbf == 1){parent->_bf = -1;subR->_bf = subRL->_bf = 0;}elseassert(false);}//查找bool Find(const K& k){if (_root == nullptr)return false;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first > k)cur = cur->_left;else if (cur->_kv.first < k)cur = cur->_right;elsereturn true;}return false;}bool IsBalance(){return _IsBalance(_root);}bool _IsBalance(Node* root){if (root == nullptr)return true;int LeftHeight = _Height(root->_left);int RightHeight = _Height(root->_right);if (root->_bf != RightHeight - LeftHeight){cout << root->_kv.first << "现在是平衡因子是:" << root->_bf << endl;cout << root->_kv.first << "平衡因子应该是:" << RightHeight - LeftHeight << endl;}return abs(LeftHeight - RightHeight) < 2;}int _Height(Node* root){if (root == nullptr)return 0;int leftHeight = _Height(root->_left);int rightHeight = _Height(root->_right);return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;}private:Node* _root;//AVL树的根};

总结🥳：

💦💦关于AVL的删除，以后有机会会为大家更新。如果有写的不好或者有错误的地方，欢迎大家指出。后序会持续为大家更新红黑树，C/C++，数据结构以及linux操作系统相关的知识，如果不嫌弃可以点个收藏加关注。谢谢大佬们了！

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