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LeetCode 278. 第一个错误的版本 解析

这个问题要求找到第一个错误的版本，其中给定一个 API isBadVersion(version) 可以判断某个版本是否错误。由于版本号是有序的，且错误版本之后的所有版本都是错误的，因此可以使用二分查找高效地定位第一个错误版本。

方法思路

1. 二分查找框架：
   初始化左右指针 left 和 right 分别指向第一个和最后一个版本。
   在每次循环中，计算中间版本 mid，并调用 isBadVersion(mid) 判断：

   • 若 mid 是错误版本，说明第一个错误版本在 mid 或其左侧，更新 right = mid。
   • 若 mid 不是错误版本，说明第一个错误版本在 mid 右侧，更新 left = mid + 1。

2. 终止条件：
   当 left 和 right 相遇时，循环结束，此时 left 即为第一个错误版本。

C++ 代码实现

// The API isBadVersion is already defined for you.
// bool isBadVersion(int version);class Solution {
public:int firstBadVersion(int n) {int left = 1;int right = n;while (left < right) {int mid = left + (right - left) / 2;  // 防止整数溢出if (isBadVersion(mid)) {right = mid;  // 错误版本在 mid 或其左侧} else {left = mid + 1;  // 错误版本在 mid 右侧}}return left;  // 循环结束时，left 即为第一个错误版本}
};

代码解释

1. 二分查找初始化：
   left = 1 和 right = n 分别表示版本范围的左右边界。

2. 防止整数溢出：
   使用 mid = left + (right - left) / 2 代替 mid = (left + right) / 2，避免当 left 和 right 都很大时发生整数溢出。

3. 循环条件：
   while (left < right) 确保循环在 left 和 right 相遇时终止。

4. 条件判断：

   • 若 isBadVersion(mid) 为真，说明第一个错误版本在 [left, mid] 范围内，更新 right = mid。
   • 若为假，说明第一个错误版本在 [mid+1, right] 范围内，更新 left = mid + 1。

5. 返回结果：
   循环结束时，left 和 right 指向同一个位置，即第一个错误版本。

复杂度分析

• 时间复杂度：O(log n)，每次迭代将搜索范围缩小一半。
• 空间复杂度：O(1)，只需要常数级额外空间。

示例

假设 n = 5，且第一个错误版本是 4。
二分查找过程如下：

1. 初始：left = 1, right = 5, mid = 3
   • isBadVersion(3) 返回 false → left = 4。
2. 第二次迭代：left = 4, right = 5, mid = 4
   • isBadVersion(4) 返回 true → right = 4。
3. 终止条件：left == right == 4，返回 4。

关键点

1. 二分查找变体：
   与传统二分查找不同，这里的 right 指向错误版本，因此更新时直接将 right = mid，而非 mid - 1。

2. 防止溢出：
   使用 left + (right - left) / 2 计算中间值，避免整数溢出。

3. 循环终止条件：
   left < right 确保不会陷入死循环，且最终 left 即为所求结果。

这种方法高效且简洁，是解决有序数组中查找特定元素问题的经典思路。

在二分查找解决“第一个错误版本”问题时，while (left < right) 循环的设计是为了精准收缩搜索范围，最终让 left 和 right 相遇在目标位置（第一个错误版本）。以下从逻辑推导和实例验证两方面详细解释：

核心逻辑：范围收缩的必然性

二分查找的本质是通过不断排除不可能的范围，最终将搜索范围缩小到唯一解。在“第一个错误版本”问题中：

1. 范围的单调性：
   题目明确“错误版本之后的所有版本都是错误的”，即版本序列具有单调性：
   [正确版本, 正确版本, ..., 第一个错误版本, 错误版本, ..., 错误版本]
   这种单调性保证了二分查找的可行性。

2. 循环条件 left < right 的作用：

   • 当 left < right 时，搜索范围至少包含两个版本，需要继续收缩。
   • 当 left == right 时，搜索范围仅剩一个版本，这个版本必然是“第一个错误版本”（因为范围收缩过程中已排除所有不可能的选项），循环终止。

范围收缩的细节

在循环中，通过 isBadVersion(mid) 的结果调整 left 或 right，确保每次收缩都严格包含目标位置：

• 若 isBadVersion(mid) == true：
  mid 是错误版本，说明“第一个错误版本”可能是 mid 或在 mid 左侧（因为左侧可能有更早的错误版本）。因此收缩右边界：right = mid。

• 若 isBadVersion(mid) == false：
  mid 是正确版本，说明“第一个错误版本”必然在 mid 右侧（因为 mid 及左侧都是正确的）。因此收缩左边界：left = mid + 1。

为什么必然相遇在目标位置？

假设目标位置为 ans（第一个错误版本），证明过程如下：

1. 初始范围：left = 1，right = n，显然 ans 在 [left, right] 内。
2. 每次收缩后：
   • 若 mid 是错误版本（mid >= ans），则 right = mid，新范围 [left, right] 仍包含 ans（因为 ans <= mid = right）。
   • 若 mid 是正确版本（mid < ans），则 left = mid + 1，新范围 [left, right] 仍包含 ans（因为 ans > mid = left - 1）。
3. 范围大小的变化：
   每次循环后，范围 [left, right] 的大小严格减小（至少减少 1），因此最终会收缩到 left == right。
4. 终止时的位置：
   由于每次收缩都包含 ans，最终 left == right 时，这个位置必然是 ans。

实例验证

以 n = 5，第一个错误版本 ans = 4 为例：

步骤	left	right	mid = left + (right-left)/2	isBadVersion(mid)	调整后范围
1	1	5	3	false（正确版本）	left = 4，范围 [4,5]
2	4	5	4	true（错误版本）	right = 4，范围 [4,4]
3	4	4	循环终止（left == right）	-	结果为 4

可见，最终 left 和 right 相遇在 4，即目标位置。

总结

while (left < right) 的循环设计通过单调收缩范围，确保每次调整都不遗漏目标位置，最终让 left 和 right 必然相遇在“第一个错误版本”。这种逻辑适用于所有有序且存在唯一解的二分查找问题，是二分查找的经典应用。