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📖 数学入门全解

本系列教程为CQF(国际量化金融分析师证书)认证所需的数学预备知识，涵盖所有需要了解的数学基础知识，旨在帮助读者熟悉核心课程所需的数学水平。

教程涵盖以下四个主题：

• 微积分
• 线性代数
• 微分方程
• 概率与统计

1.8.1 链式法则 I 详解

一、核心概念

复合函数求导法则

当函数 $z=f(x,y)$ 的变量 $x,y$ 本身又是另一变量 $s$ 的函数时，即 $x=x(s),y=y(s)$，则复合函数 $F(s)=f(x(s),y(s))$ 的导数为：

$$\frac{dF}{ds}=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot \frac{dx}{ds}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot \frac{dy}{ds}$$

其中：

• $\frac{\partial f}{\partial x}$ 表示 $f$ 对 $x$ 的偏导数（保持 $y$ 不变）
• $\frac{\partial f}{\partial y}$ 表示 $f$ 对 $y$ 的偏导数（保持 $x$ 不变）
• $\frac{dx}{ds}$ 和 $\frac{dy}{ds}$ 是 $x,y$ 对 $s$ 的普通导数

二、推导过程

基础示例分析

给定：

$$\begin{gathered} f(x,y)=x^2+y^2 \\ x(s)=\cos s,y(s)=\sin s \end{gathered}$$

计算步骤：

1. 求偏导数：

   $$\frac{\partial f}{\partial x}=2x,\frac{\partial f}{\partial y}=2y$$

2. 求中间变量导数：

   $$\frac{dx}{ds}=-\sin s,\frac{dy}{ds}=\cos s$$

3. 代入链式法则：

   $$\begin{gathered} \frac{dF}{ds}=2x(-\sin s)+2y(\cos s) \\ =-2\cos s\sin s+2\sin s\cos s=0 \end{gathered}$$

4. 验证结果：

   $$F(s)={\cos }^{2}s+{\sin }^{2}s=1\Rightarrow \frac{dF}{ds}=0$$

三、应用实例

参数方程求导

问题描述：

$$\begin{gathered} z=e^{x{y}^2} \\ x=t\cos t,y=t\sin t \\ 求{\frac{dz}{dt}|}_{t=\frac{\pi }{2}} \end{gathered}$$

解题步骤：

1. 计算偏导数：

   $$\begin{gathered} \frac{\partial z}{\partial x}=y^2{e}^{x{y}^2} \\ \frac{\partial z}{\partial y}=2xy{e}^{x{y}^2} \end{gathered}$$

2. 计算中间导数：

   $$\begin{gathered} \frac{dx}{dt}=\cos t-t\sin t \\ \frac{dy}{dt}=\sin t+t\cos t \end{gathered}$$

3. 应用链式法则：

   $$\frac{dz}{dt}=(y^2{e}^{x{y}^2})(\cos t-t\sin t)+(2xy{e}^{x{y}^2})(\sin t+t\cos t)$$

4. 代入 $t=\frac{\pi }{2}$：

   • $x=\frac{\pi }{2}\cos \frac{\pi }{2}=0$

   • $y=\frac{\pi }{2}\sin \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}$

   • 计算得：

     $$\frac{dz}{dt}=\left(\frac{{\pi }^2}{4}\right)e^0(-\frac{\pi }{2})+0=-\frac{{\pi }^3}{8}$$

四、关键要点

1. 偏导数与全导数区别：

   • 偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$：仅考虑 $x$ 变化对 $f$ 的影响
   • 全导数 $\frac{dF}{ds}$：综合所有变量通过中间参数 $s$ 的变化影响

2. 链式法则的几何意义：

   • 描述复合函数变化率的叠加效应
   • 各路径贡献的加权和（权重为对应导数）

3. 计算注意事项：

   • 必须保持变量依赖关系的清晰
   • 最后代入数值前保持符号运算
   • 注意复合函数中各导数的相乘顺序

风险提示与免责声明
本文内容基于公开信息研究整理，不构成任何形式的投资建议。历史表现不应作为未来收益保证，市场存在不可预见的波动风险。投资者需结合自身财务状况及风险承受能力独立决策，并自行承担交易结果。作者及发布方不对任何依据本文操作导致的损失承担法律责任。市场有风险，投资须谨慎。