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在计算极限时，泰勒公式展开到第几项需要遵循​“分子与分母的最低阶非零项同阶”​原则。以下通过具体步骤和示例详细说明：

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​一、确定展开项数的核心原则

泰勒展开的目的是用多项式近似函数，​展开的阶数需确保分子和分母的最低阶非零项（主部）同阶。具体步骤：

1. ​观察分母的阶数：分母是 xk 阶无穷小，则分子必须展开到至少 xk 项。
2. ​抵消后保留最低阶非零项：若分子展开后的前几项被抵消，需继续展开，直到出现第一个非零项。
3. ​余项可忽略：高阶余项（如 o(xk)）在求极限时趋于零，无需展开更高阶。

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​二、具体步骤与示例

​步骤1：分析分母的阶数

• ​示例1：求 limx→0​x3sinx−x​
  分母为 x3，分子需展开到 x3 项。

​步骤2：展开分子并抵消低阶项

• ​展开 sinx：sinx=x−6x3​+o(x3)
• ​代入分子：sinx−x=(x−6x3​)−x=−6x3​+o(x3)此时分子的最低阶非零项为 x3，与分母同阶。

​步骤3：计算极限

• 化简后：x→0lim​x3−6x3​​=−61​.

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​三、特殊情况处理

​情况1：分子展开后最低阶项高于分母

• ​示例2：求 limx→0​x4cosx−1+2x2​​
  • 分母为 x4，需展开到 x4 项。
  • cosx=1−2x2​+24x4​+o(x4)
  • 分子化简为 24x4​+o(x4)，极限为 241​。

​情况2：分子展开后最低阶项低于分母

• ​示例3：求 limx→0​x3ex−1−x​
  • 错误展开（仅到 x2）：分子为 2x2​+o(x2)，极限为 ∞（错误）。
  • 正确展开（到 x3）：分子为 2x2​+6x3​+o(x3)，实际最低阶项为 x2，但分母为 x3，极限为 ∞。

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​四、通用公式与总结

分母阶数	分子展开要求	极限结果
xk	展开到 xk 项	由主项系数决定
xk	展开不足（低于 k）	可能错误（如 0 或 ∞）
xk	展开超过 k 项	高阶余项可忽略

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​五、关键注意事项

1. ​必须抵消所有低阶项：

   • 若分子展开后前 m 项抵消（m<k），需继续展开到 xk 项。
   • ​示例4：求 limx→0​x3ex−1−x−2x2​​
     • 展开到 x3：ex=1+x+2x2​+6x3​+o(x3)
     • 分子为 6x3​+o(x3)，极限为 61​。

2. ​灵活选择展开方式：

   • 若分子包含多个函数（如 sinx⋅cosx），需分别展开到足够高阶。

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​六、总结

泰勒展开的阶数由以下两点决定：

1. ​分母的阶数：必须展开到与分母同阶或更高。
2. ​分子抵消后的最低非零项：确保主部不被遗漏。

核心口诀：
​“分母几阶，分子展开到几阶；抵消后找主部，高阶余项可忽略。”​