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题目

1157. 树的重心

算法标签: $dfs$, 树的重心, 倍增优化, 换根$dp$

思路

对于一棵树来说, 树的重心只有一个或者两个, 问题就是枚举删除每一条边, 算这两个数的所有重心的编号之和

如果根节点不是重心, 那么必然存在一个子树的点数$>\frac{n}{2}$, 而且只存在一个子树的节点个数$>\frac{n}{2}$

如何寻找重心?
按照$>\frac{n}{2}$的子树走最后一个位置, 也就是说所有儿子的点数都严格小于$\le \frac{n}{2}$, 当前点一定是重心, 也就是重心是一定存在的

如何判断树中是否存在两个重心?
假设红色节点是重心. 那么有红色方向点数$\le \frac{n}{2}$,并且蓝色区域点数是$\ge \frac{n}{2}$, 如果蓝色点也是重心, 那么是相反的情况, 最终推出每个区域点数必须严格等于$\frac{n}{2}$(要求总点数是偶数), 并且两个重心是相邻的

在寻找$v$子树重心的过程中时候可以使用倍增进行优化

但是上半部分如何计算?
将$u$部分换根换到$v$, 将上面部分换位以$v$为根, 换完根之后只有$u$节点自己会变, $s[u]=n-s[v]$, $f[u]$看$u$的新的重儿子是否是$v$, 如果是$v$那么需要更换为除了$v$之外的重儿子

详细注释代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>using namespace std;typedef long long LL;
const int N = 300010, M = N * 2, K = 19; // K是倍增数组的层数int n;
int h[N], e[M], ne[M], idx; // 邻接表存图
// f[u][k]表示从u节点出发，沿着重链走2^k步到达的节点
// g是f数组的备份，用于回溯
// p记录父节点，sz记录子树大小
int p[N], f[N][K], g[N][K], sz[N];
LL ans; // 存储最终答案// 添加边
void add(int a, int b) {e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}// 计算倍增数组，u是当前节点，son是u的重儿子
void calc_st(int u, int son) {f[u][0] = son; // 第一步走重儿子for (int i = 1; i < K; i++)f[u][i] = f[f[u][i - 1]][i - 1]; // 倍增思想
}// 计算以u为根的子树的重心，并累加到答案中
void calc_ans(int u) {int tot = sz[u]; // 当前子树的总大小// 从高位到低位尝试走，找到最接近子树中间位置的节点for (int i = K - 1; i >= 0; i--)if (f[u][i] && tot - sz[f[u][i]] <= tot / 2)u = f[u][i];// 累加找到的重心ans += u;// 如果子树大小是偶数且当前节点恰好是中间两个节点之一，则累加另一个重心if (tot % 2 == 0 && sz[u] == tot / 2) ans += p[u];
}// 第一次DFS，计算子树大小、父节点和重儿子
void dfs1(int u, int fa) {int son = 0; // 重儿子初始化为0sz[u] = 1, p[u] = fa;for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {int j = e[i];if (j == fa) continue;dfs1(j, u);sz[u] += sz[j];// 更新重儿子if (sz[j] > sz[son]) son = j;}// 计算u的倍增数组calc_st(u, son);
}// 第二次DFS，换根DP计算每个子树的重心
void dfs2(int u, int fa) {int s1 = 0, s2 = 0, szu = sz[u]; // s1是重儿子，s2是次重儿子// 找出u的重儿子和次重儿子for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {int j = e[i];if (sz[j] >= sz[s1]) s2 = s1, s1 = j;else if (sz[j] > sz[s2]) s2 = j;}// 遍历所有儿子for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {int j = e[i];if (j == fa) continue;// 计算当前子树j的重心calc_ans(j);// 换根操作：将j作为新的根p[u] = j, sz[u] = n - sz[j];// 如果j不是重儿子，那么u的新重儿子是s1// 否则是次重儿子s2if (j != s1) calc_st(u, s1);else calc_st(u, s2);// 计算以u为根的子树的重心calc_ans(u);// 递归处理子树dfs2(j, u);}// 恢复现场p[u] = fa, sz[u] = szu;memcpy(f[u], g[u], sizeof f[u]);
}int main() {int T;scanf("%d", &T);while (T--) {// 初始化邻接表scanf("%d", &n);memset(h, -1, sizeof h), idx = 0;// 读入树结构for (int i = 0; i < n - 1; i++) {int a, b;scanf("%d%d", &a, &b);add(a, b), add(b, a);}// 第一次DFS预处理dfs1(1, -1);ans = 0;// 备份f数组，用于后续恢复memcpy(g, f, sizeof f);// 第二次DFS计算答案dfs2(1, -1);printf("%lld\n", ans);}return 0;
}

精简注释代码

#pragma GCC optimize(2)
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <vector>using namespace std;typedef long long LL;
const int N = 300010, K = 19, INF = 0x3f3f3f3f;int n;
vector<int> head[N];
int p[N], f[N][K], g[N][K], sz[N];
LL ans;void add(int u, int v) {head[u].push_back(v);
}// 倍增向儿子节点走
void calc_f(int u, int son) {f[u][0] = son;for (int i = 1; i < K; ++i) f[u][i] = f[f[u][i - 1]][i - 1];
}// 计算以u为根节点子树的重心
void calc_ans(int u) {int s = sz[u];for (int i = K - 1; i >= 0; --i) {if (f[u][i] && s - sz[f[u][i]] <= s / 2) u = f[u][i];}ans += u;if (s % 2 == 0 && sz[u] == s / 2) ans += p[u];
}void dfs1(int u, int fa) {int son = 0;sz[u] = 1, p[u] = fa;for (int v : head[u]) {if (v == fa) continue;dfs1(v, u);sz[u] += sz[v];if (sz[v] > sz[son]) son = v;}// 计算当前节点沿着重儿子走能到达的节点calc_f(u, son);
}// 换根
void dfs2(int u, int fa) {int s1 = 0, s2 = 0, u_sz = sz[u];for (int v : head[u]) {if (sz[v] > sz[s1]) {s2 = s1;s1 = v;}else if (sz[v] > sz[s2]) s2 = v;}for (int v : head[u]) {if (v == fa) continue;// 计算当前儿子的重心calc_ans(v);// 换根p[u] = v, sz[u] = n - sz[v];// 如果当前v是重儿子向第二大的儿子走, 否则直接走vv == s1 ? calc_f(u, s2) : calc_f(u, s1);calc_ans(u);dfs2(v, u);}// 恢复现场p[u] = fa, sz[u] = u_sz;// 因为换根后倍增更改了f[u]数组, 将f数组恢复memcpy(f[u], g[u], sizeof g[u]);
}int main() {ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0), cout.tie(0);int T;cin >> T;while (T--) {cin >> n;for (int i = 0; i <= n; ++i) head[i].clear();for (int i = 0; i < n - 1; ++i) {int u, v;cin >> u >> v;add(u, v), add(v, u);}dfs1(1, -1);ans = 0;memcpy(g, f, sizeof f);dfs2(1, -1);cout << ans << "\n";}return 0;
}