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引言

前序学习进程中，对向量相关的基本知识进行了学习，链接为：
向量的值和方向
向量点积
在实际的支持向量机算法使用中，最核心的目标是找出可以实现分类的超平面，超平面就是分割的点、线或者面，不要在这个名字上花费太多力气。
在中学数学里，我们知道含有两个未知数的二元一次方程y=kx+b可以表达直线，含有三个未知数的三元一次方程Ax+By+Cz=0可以表达面。
稍微换一个思路，两个未知数按照线性关系组合，它们应当位于一条直线上；三个未知数则可以把这条直线旋转360度，线动成面，三元一次方程可以表达面。
对于数据的分割，也可以细分讨论：

• 当所有点都沿着一条线分布，在这条线上取一个中间点就可以把点分割成两部分；
  当所有点在xoy坐标平面上分布，需要画一条直线才能将所有点分割成两部分；
  当做有点在0xyz坐标系上分布，需要画一个平面才能将所有点分割成两部分。

超平面方程定义

从大家都很熟悉的直线定义介入：y=kx+b。

• 第一步，将其改写为：x2=kx1+b
• 第二步，移项为kx1-x2+b=0
• 第三步，定义变量向量X=(x1,x2)，权重向量W=(w1,w2)=(k,-1)，把原式转化为：
  $$W\cdot X+b=0$$
  至此，直线的表达换成了向量点积，并且向量W和X可以是任意维度。换句话说，支持向量机实现分割的超平面，就是用向量点积表达的点、线或者面。本质上，超平面是个点集。

增强向量

在前序讨论中，大家已经看到通过矩阵点积可以表达分割超平面，但这个公式不够简洁，还需要把b单独列出，基于此，我们想办法构造新的向量，使得超平面的表达是一个单纯的矩阵点积。
这种人为增加一个向量元素的新向量，就是增强向量。
对于变量向量X，增加一个变量x0=1，此时得到：
$$\bar{X}=(x0,x1,x2)=(1,x1,x2)$$
对于权重向量W，增加一个变量w0=b，此时得到：
$$\bar{W}=(w0,w1,w2)=(b,k,-1)$$
此时超平面的向量表达式转化为：
$$\bar{W}\cdot \bar{X}=0$$

总结

学习了超平面用向量点积表示的基础知识。