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1.树

1.1 树的概念与结构

树是⼀种⾮线性的数据结构，它是由 n（n>=0） 个有限结点组成⼀个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像⼀棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，⽽叶朝下的。

• 树的顶点是一个特殊的结点，称作根节点，根结点没有前驱结点。
• 除根结点外，其余结点被分成 M(M>0) 个互不相交的集合 T1、T2、……、Tm ，其中每⼀个集合Ti(1 <= i <= m) ⼜是⼀棵结构与树类似的⼦树。每棵⼦树的根结点有且只有⼀个前驱，可以有 0 个或多个后继。因此，树是递归定义的。

注意：树形结构中的子树之间不能有交集，否则就不是树形结构。

eg：

• 子树是不相交的（相交的话就是图）
• 每个结点有且仅有一个父结点（除根结点外）
• 一颗N个结点的树有N-1条边

1.2 树的相关用语

读者可能会觉得很多很难记，别担心，我会将重要的术语标记，方便读者重点记忆，其余的了解即可~

• 父结点/双亲结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其⼦结点的⽗结点；如上图：A是B的⽗结点

• **⼦结点/孩⼦结点：**⼀个结点含有的⼦树的根结点称为该结点的⼦结点；如上图：B是A的孩⼦结点

• 结点的度：⼀个结点有⼏个孩⼦，他的度就是多少；⽐如A的度为6，F的度为2，K的度为0

• 树的度：⼀棵树中，最⼤的结点的度称为树的度；如上图：树的度为 6

• 叶⼦结点/终端结点：度为 0 的结点称为叶结点；如上图： B、C、H、I… 等结点为叶结点

• 分⽀结点/⾮终端结点：度不为 0 的结点；如上图： D、E、F、G… 等结点为分⽀结点

• 兄弟结点：具有相同⽗结点的结点互称为兄弟结点(亲兄弟)；如上图： B、C 是兄弟结点

• 结点的层次：从根开始定义起，根为第 1 层，根的⼦结点为第 2 层，以此类推；

• ==树的⾼度或深度：树中结点的最⼤层次；如上图：树的⾼度为 4 ==

• 结点的祖先：从根到该结点所经分⽀上的所有结点；如上图： A 是所有结点的祖先

• 路径：⼀条从树中任意节点出发，沿⽗节点-⼦节点连接，达到任意节点的序列；⽐如A到Q的路径为：A-E-J-Q；H到Q的路径H-D-A-E-J-Q

• ⼦孙：以某结点为根的⼦树中任⼀结点都称为该结点的⼦孙。如上图：所有结点都是A的⼦孙

• 森林：由 m（m>0） 棵互不相交的树的集合称为森林；

1.3 树的表示

树结构相对线性表就⽐较复杂了，要存储表⽰起来就⽐较⿇烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表⽰⽅式如：双亲表⽰法，孩⼦表⽰法、孩⼦双亲表⽰法以及孩⼦兄弟表⽰法等。我们这⾥就简单的了解其中最常⽤的孩⼦兄弟表⽰法。

孩子兄弟表示法

struct TreeNode
{struct Node* child; // 左边开始的第⼀个孩⼦结点struct Node* brother; // 指向其右边的下⼀个兄弟结点int data; // 结点中的数据域
};

2. 二叉树

2.1 二叉树概念与结构

二叉树是树形结构中我们最常用的，⼀棵⼆叉树是结点的⼀个有限集合，该集合由⼀个根结点加上两棵别称为左⼦树和右⼦树的⼆叉树组成或者为空。

由图我们可观察出其特点

1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. ⼆叉树的⼦树有左右之分，次序不能颠倒，因此⼆叉树是有序树

注意：对于任意的⼆叉树都是由以下⼏种情况复合⽽成的

现实中的二叉树

2.2 特的殊二叉树

2.2.1 满二叉树

⼀个⼆叉树，如果每⼀个层的结点数都达到最⼤值，则这个⼆叉树就是满⼆叉树。也就是说，如果⼀个⼆叉树的层数为 K ，且结点总数是 $$2^k-1$$，则它就是满⼆叉树。

2.2.2 完全二叉树

完全⼆叉树是效率很⾼的数据结构，完全⼆叉树是由满⼆叉树⽽衍生出来的。对于深度为 K 的，有 n 个结点的⼆叉树，当且仅当其每⼀个结点都与深度为K的满⼆叉树中编号从1⾄n的结点⼀⼀对应时称之为完全⼆叉树。要注意的是满⼆叉树是⼀种特殊的完全⼆叉树

2.2.3 二叉树性质

若规定根结点的层数为 1,
由满⼆叉树的特点可知：

1. 一颗非空二叉树的第i层上最多有$$2^{i-1}$$ 个结点。
2. 深度为h的二叉树的最大结点数为$$2^h-1$$
3. 具有 n 个结点的满⼆叉树的深度$$h=lo{g}_2(n+1)$$( log
   以2为底， n+1 为对数)
4. 一个高度为h的完全二叉树，他的结点个数的范围是$$[2^{h-1},2^h-1]$$

2.3 二叉树存储结构

⼆叉树⼀般可以使⽤两种结构存储，⼀种顺序结构，⼀种链式结构。

2.3.1 顺序结构

顺序结构存储就是使⽤数组来存储，⼀般使⽤数组只适合表⽰完全⼆叉树，因为不是完全⼆叉树会有
空间的浪费，完全⼆叉树更适合使⽤顺序结构存储。

非完全二叉树的空间浪费

我们通常把堆（⼀种完全⼆叉树）使⽤顺序结构的数组来存储。

2.3.2 链式结构

⼆叉树的链式存储结构是指，⽤链表来表⽰⼀棵⼆叉树，即⽤链来指⽰元素的逻辑关系。通常的⽅法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别⽤来给出该结点左孩⼦和右孩
⼦所在的链结点的存储地址。链式结构⼜分为⼆叉链和三叉链。