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题目
给你一个整数数组 cost ，其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。
你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。
请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。
一、代码实现（动态规划优化）
func minCostClimbingStairs(cost []int) int {n := len(cost)if n == 0 {return 0}if n == 1 {return cost[0]}prevPrev, prev := cost[0], cost[1]for i := 2; i < n; i++ {current := cost[i] + min(prev, prevPrev)prevPrev, prev = prev, current}return min(prev, prevPrev)
}func min(a, b int) int {if a < b {return a}return b
}
二、算法分析
1. 核心思路
- 滚动数组优化：仅维护前两个状态值
- 状态转移方程：dp[i] = cost[i] + min(dp[i-1], dp[i-2])
- 边界处理：
- 直接处理n=0和n=1的特殊情况
- 通过滚动变量避免O(n)空间复杂度
2. 关键步骤
- 初始化状态：prevPrev=cost[0], prev=cost[1]
- 迭代计算：
- 计算当前台阶的最小花费
- 更新前两个状态值
- 结果返回：取最后两个状态的最小值
3. 复杂度
| 指标 | 值 | 说明 |
|---|---|---|
| 时间复杂度 | O(n) | 线性遍历整个数组 |
| 空间复杂度 | O(1) | 仅使用三个临时变量 |
三、图解示例
四、边界条件与扩展
1. 特殊场景验证
- 空数组：返回0（题目约束通常不存在）
- 单台阶数组：直接返回cost[0]
- 两台阶数组：取cost[0]和cost[1]较小值
- 大数测试：n=1000时仍能高效计算
2. 扩展应用
- 建筑成本优化：规划多层建筑的最优建造路径
- 游戏AI寻路：动态计算移动消耗最小的路径
- 投资决策：多阶段投资的最小成本路径选择
3. 多语言实现
class Solution {public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {int n = cost.length;if (n == 1) return cost[0];int a = cost[0], b = cost[1];for (int i = 2; i < n; i++) {int c = cost[i] + Math.min(a, b);a = b;b = c;}return Math.min(a, b);}
}
class Solution:def minCostClimbingStairs(self, cost: List[int]) -> int:if len(cost) == 1:return cost[0]prev_prev, prev = cost[0], cost[1]for i in range(2, len(cost)):current = cost[i] + min(prev_prev, prev)prev_prev, prev = prev, currentreturn min(prev_prev, prev)
五、总结与优化
1. 算法对比
| 方法 | 优势 | 适用场景 |
|---|---|---|
| 动态规划 | 最优时间复杂度 | 常规需求 |
| 递归+记忆化 | 代码直观 | 教学演示 |
| 矩阵快速幂 | O(log n)时间复杂度 | 极大n值计算 |
2. 工程优化
- 循环展开：手动展开循环减少分支判断
- SIMD指令：利用并行计算加速向量运算
- 预计算缓存：存储常用值减少重复计算
3. 扩展方向
- 三维路径规划：考虑空间中的多层移动成本
- 随机成本模型：处理概率性变化的动态成本
- 多目标优化：平衡时间和成本的双重约束