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一、定义

最大似然估计 是一种参数估计方法，其核心思想是：
选择能使观测数据出现概率最大的参数值作为估计值。
具体来说，假设数据 $D=x_1,x_2,\dots ,x_n$独立且服从某个概率分布$P(x\mid \theta )$，则通过最大化似然函数$\mathcal{L}(\theta \mid \mathcal{D})$来求解参数 $\theta$。

二、公式推导

1. 似然函数：
   数据独立时，似然函数为各数据点概率的乘积：
   $\mathcal{L}(\theta \mid \mathcal{D})={\prod }_{i=1}^{n}P\left(x_i\mid \theta \right)$

2. 对数似然：
   为简化计算，取自然对数（乘积变加法）：
   $\mathcal{L}(\theta \mid \mathcal{D})={\prod }_{i=1}^{n}P\left(x_i\mid \theta \right)$

3. 最大化目标：
   求解使对数似然最大的参数 ${\theta }^{\ast }$：
   ${\theta }^{\ast }=\arg {\max }_{\theta }{\sum }_{i=1}^n\ln P\left(x_i\mid \theta \right)$

4. 求解方法：
   对 θ 求导并令导数为零，或使用梯度下降等优化算法。

三、经典例子

例1：估计正态分布的均值和方差

假设数据$\mathcal{D}=x_1,x_2,\dots ,x_n$服从正态分布$\mathcal{N}\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$，求$\mu$和${\sigma }^2$估计。

1. 似然函数：
   $\mathcal{L}\left(\mu ,{\sigma }^2\right)={\prod }_{i=1}^n\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{e}^{-\frac{{\left(x_i-\mu \right)}^2}{2{\sigma }^2}}$

2. 对数似然：

$\ln \mathcal{L}=-\frac{n}{2}\ln (2\pi )-\frac{n}{2}\ln {\sigma }^2-\frac{1}{2{\sigma }^2}{\sum }_{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2$
3. 求导解方程：
对 $\mu$ 求导：
$\frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial \mu }=\frac{1}{{\sigma }^2}{\sum }_{i=1}^n\left(x_i-\mu \right)=0\Rightarrow {\mu }^{\ast }=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{x}_i$
对${\sigma }^2$求导：
$\frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial {\sigma }^2}=-\frac{n}{2{\sigma }^2}+\frac{1}{2{\sigma }^4}{\sum }_{i=1}^n{\left(x_i-\mu \right)}^2=0\Rightarrow {\sigma }^{2\ast }=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{\left(x_i-{\mu }^{\ast }\right)}^2$

4. 结论
   ${\mu }^{\ast }$是样本均值，${\sigma }^{2\ast }$是样本方差（但分母为 n，有偏估计）。

例2：二项分布的参数估计

假设抛硬币 n 次，正面朝上 k 次，估计正面概率 p。

1. 似然函数：
   $\mathcal{L}§ = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} $

2. 对数似然：

$\ln \mathcal{L} = \ln \binom{n}{k} + k \ln p + (n - k) \ln (1 - p) $
3. 求导解方程：
$\frac{\partial \ln \mathcal{L}}{\partial p} = \frac{k}{p} - \frac{n-k}{1-p} = 0 \implies p^* = \frac{k}{n} $

结论：正面概率的 MLE 估计是观测频率 $\frac{k}{n}$

 

四、MLE 与大模型的关系

在大模型（如 GPT、BERT、ResNet）中，MLE 是训练目标的数学基础，但需结合工程技巧扩展：

1. 损失函数设计：

   • 交叉熵损失：分类任务中，最小化交叉熵等价于最大化对数似然。
     例如，语言模型预测下一个词的概率分布时，损失函数为：

     $\mathcal{L}=-{\sum }_{t=1}^T\ln P(w_t|w_{<t},\theta )$

   • 均方误差（MSE）：回归任务中，MSE 等价于假设数据服从高斯分布时的 MLE。

2. 正则化与贝叶斯扩展：

   • MLE 容易过拟合，大模型常加入正则化项（如 L2 正则），这等价于最大后验估计（MAP，贝叶斯框架下的 MLE 扩展）。

   • 贝叶斯神经网络将 MLE 推广为后验分布推断（如变分推断）。

3. 优化算法：

   • 大模型参数规模巨大（如 GPT-3 有 1750 亿参数），直接求解 MLE 不可行，需使用 随机梯度下降（SGD） 或其变体（如 Adam）近似优化。

4. 生成模型中的应用：

   • 生成对抗网络（GAN）和扩散模型中，生成器的训练隐式地最大化数据的似然。

   • 自回归模型（如 Transformer）显式地通过 MLE 学习序列数据的分布。

五、MLE 的局限性及应对

1. 过拟合风险：

   • 问题：MLE 倾向于拟合训练数据噪声。

   • 解决方案：加入正则化项，或使用贝叶斯方法引入先验。

2. 数据稀疏性：

   • 问题：小数据场景下，MLE 估计可能不准确。

   • 解决方案：数据增强、预训练（如 BERT 的 MLM 任务）。

3. 非凸优化：

   • 问题：复杂模型的似然函数可能非凸，陷入局部最优。

   • 解决方案：随机初始化、动量优化、学习率调度。

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六、总结

• 核心公式：${\theta }^{\ast }=\arg {\max }_{\theta }{\sum }_{i=1}^n\ln P\left(x_i\mid \theta \right)$。

• 应用场景：从经典统计到深度学习，MLE 是参数估计的基石。

• 大模型中的角色：

  • 直接指导损失函数设计（如交叉熵）。

  • 结合正则化和优化算法解决高维问题。

  • 生成模型和自回归模型的核心训练目标。

• 哲学意义：MLE 体现了“让数据自己说话”的思想，但需通过技术手段平衡拟合与泛化。